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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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$k(x)$ が $x=0$ の右近傍で $-1/2$ の次数で発散する場合から考えます。ここで

\begin{align}
k(x)=cx^{-1/2}+O(x^{1/2})
\end{align}

と書いておきましょう。さて

\begin{align}
\mu_0(x)=
\begin{cases}
x^{-1/2}\ \text{for }x>0,\\
0\ \text{otherwise}
\end{cases}
\end{align}

なる関数を $k$ に畳込むと、原点の右近傍で

\begin{align}
(\mu_0\ast k)(y)=\int_0^y(y-x)^{-1/2}\{cx^{-1/2}+O(x^{1/2})\}\,dx=\pi c+O(y)
\end{align}

となります。したがって $\mu_0\ast k$ は原点近傍でヘヴィサイド関数のように振る舞いますね。これを少し改良すれば、或る関数 $\mu$ が存在して $\mu\ast k$ がヘヴィサイド関数となるようにすることができます。


続いて $k(x)$ が $x=0$ の右近傍で $0$ 次の場合ですが、こちらは $\mu_0$ をデルタ関数にとってみれば同様に考えることができるので省略します。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究157- 畳み込みによる積分核の変形その２

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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以前述べたように我々は、遮断周波数を超える分解能改善効果をもつブラインド-デコンボリューション法(WVR法)の開発に成功しました。そのアルゴリズム部分には積分幾何学的な手法、効果には物理学的な解釈の研究が付随しています。


したがってデコンボリューションの研究は、画像処理という一側面に留まらず、数学、物理学を含めた広い文脈で意義を見出すことができます。まず、数学的な意義から考えていきましょう。


ひとつは、非調和解析的な積分幾何学の発見という意義があります。これによって、従来の調和解析では扱えないような関数クラスでも積分幾何学を展開することができるようになりました。応用の一例として、ポンペイユ逆問題の解決が挙げられます。


ひとつは、アーチファクト・ノイズの問題を解消するような安定性が存在するアルゴリズムになっているということです。


以上2つが数学的な大きな意義になっています。続いて画像処理的な意義を考えてみましょう。


ひとつは、遮断周波数を超える情報のイメージングに成功したという点です。これにより得られる、情報量の上限の解消は重要な意義です。


ひとつは、低計算量なブラインド-デコンボリューションであるということです。画像処理のパフォーマンスは、単位エネルギー当たりの情報量で定量化されますが、画像処理的な2つの意義は、これを改善するものであり、画像の利用者(AIを想定)の効率を高めます。


続いて物理学的な意義を考えてみます。


遮断周波数を超えて分解能を改善することは、現状の物理学では説明できません。これを説明するためには、仮説の提案が必要になります。


量子エンタングルメントを参考にするのであれば、非局所的弱相関の存在と弱測定によるイメージング化という結論が得られます。エンタングルメントという概念の拡張は量子論では重要なテーマのひとつです。


最後に、少し話が飛躍しますが、進化論的な意義を考えてみましょう。


カメラの歴史というものは、眼という臓器のトレースで特徴付けられていました。この意味で、カメラの科学技術は、これ以上進化できない完成形に至っていたという捉え方ができます。


WVR法は進化論的に、眼のトレースから初めて脱却できた人類の進化であると考えることができます。


近年、科学技術を経て進化論の軸から励起的に遷移する例が多数見受けられます。DNAの研究、AIの研究、量子コンピュータの研究、宇宙開発等ですね。デコンボリューションの研究もこれらと同種の特徴があります。(written by J.Nishigata)


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研究158- 畳み込みによる積分核の変形その３