MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回は変数を簡略化して計算しましたが、元の積分変換で考えてみると、或る $\mu$ が存在して

\begin{align}
\int_s^{\infty}\mu(r,s)k(X,r)\,dr
\end{align}

は $X=m(s)$ で不連続なヘヴィサイド関数となります。ここに

\begin{align}
\int_s^{\infty}\mu(r,s)\bigg\{\int_{\mathbb{R}}k(X,r)\psi(X,y)\,dX\bigg\}\,dr
\end{align}

が存在するならば $\psi$ の積分も存在して

\begin{align}
\int_s^{\infty}\mu(r,s)\bigg\{\int_{\mathbb{R}}k(X,r)\psi(X,y)\,dX\bigg\}\,dr=\int_{m(s)}^{\infty}\psi(X,y)\,dX
\end{align}

が成立します。したがって、関数 $f$ がポンペイユ変換の零点となる場合

\begin{align}
\int_m^{\infty}\psi(X,y)\,dX=0
\end{align}

を得ることができます。これを $r$ に関して微分すれば $\psi$ が求まりますね。$\psi$ の反転公式は、以前「球面の族に関する積分変換」で求めているので、これを用いて $f=0$ が得られます。


以上で、約100年間未解決だったポンペイユの逆問題は、無事に肯定的に解決されました。(written by J.Nishigata)


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研究158- 畳み込みによる積分核の変形その３

MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






一般的に、デコンボリューションの役割は、装置関数で劣化してしまったシグナルの高周波成分を回復させることです。ここに、暗黙のルールとして、遮断周波数を超える成分に関しては言及しないとされています。


この一般論の範囲内でWVR法を議論する場合は、注意が必要です。WVR法では、遮断周波数内の成分だけでなく、遮断周波数を超える成分に対してもシグナルを回復させることができます。


以上の点を踏まえてコンセプトを考えていきましょう。


我々は、主に光を用いて物を見ています。しかし、光で見る世界には分解能の理論限界が存在します。顕微鏡の世界では「レイリー限界」、望遠鏡の世界では「ドーズ限界」などと呼ばれています。


我々はこれまで、理論限界で制限された窮屈な世界での活動を強いられてきました。顕微鏡のスケールではサブマイクロオーダーまで、望遠鏡のスケールでは月面間の距離オーダーまで位しか産業化することができません。


しかしご存じの通り、制限された世界の外には非常に興味深い物理があり、むしろそのような世界の方が広大であると言っても過言ではないでしょう。


WVR法は、この理論限界による制限を打開して光学の世界を無限に広げます。今回はここまで。次回は、何故光学に拘るのかという点についてコンセプトを考えます。(written by J.Nishigata)


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研究159- デコンボリューションの研究が解決する課題たち