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  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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前回得られた次数を減らした積分核 $k$ による積分変換

\begin{align}
\int_m^Mk(X,r)\psi(X,y)\,dX
\end{align}

を変形していきましょう。具体的には

\begin{align}
\int_s^{\infty}\bigg\{\mu(r,s)\int_m^Mk(X,r)\psi(X,y)\,dX\bigg\}\,dr
\end{align}

のような畳み込みを考えます。$k(X,r)$ は $m < X < M$ で定義された関数ですが、これを $k(X,r)=0,X\le m,X\ge M$ で拡張しておくと、積分の順序を交換して

\begin{align}
\int_{\mathbb{R}}\bigg\{\int_s^{\infty}\mu(r,s)k(X,r)\,dr\bigg\}\psi(X,y)\,dX
\end{align}

と書くことができます。今注目しているのは積分核の部分ですね。以下、計算を分り易くするために $k(X,r)=k(X-r)$ のように $1$ 変数化して更に $m=r$ としておきます。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究156- 畳み込みによる積分核の変形その１

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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前回は変数を簡略化して計算しましたが、元の積分変換で考えてみると、或る $\mu$ が存在して

\begin{align}
\int_s^{\infty}\mu(r,s)k(X,r)\,dr
\end{align}

は $X=m(s)$ で不連続なヘヴィサイド関数となります。ここに

\begin{align}
\int_s^{\infty}\mu(r,s)\bigg\{\int_{\mathbb{R}}k(X,r)\psi(X,y)\,dX\bigg\}\,dr
\end{align}

が存在するならば $\psi$ の積分も存在して

\begin{align}
\int_s^{\infty}\mu(r,s)\bigg\{\int_{\mathbb{R}}k(X,r)\psi(X,y)\,dX\bigg\}\,dr=\int_{m(s)}^{\infty}\psi(X,y)\,dX
\end{align}

が成立します。したがって、関数 $f$ がポンペイユ変換の零点となる場合

\begin{align}
\int_m^{\infty}\psi(X,y)\,dX=0
\end{align}

を得ることができます。これを $r$ に関して微分すれば $\psi$ が求まりますね。$\psi$ の反転公式は、以前「球面の族に関する積分変換」で求めているので、これを用いて $f=0$ が得られます。


以上で、約100年間未解決だったポンペイユの逆問題は、無事に肯定的に解決されました。(written by J.Nishigata)


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研究157- 畳み込みによる積分核の変形その２