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前回は端点 $X=m,M$ でオーダーの異なる積分核を構築しました。説明し易いように $X=m$ の近傍でのオーダーを $(n-3)/2$、$X=M$ の近傍でのオーダーを $(n-1)/2$ としておきます。このような積分核を改めて $k$ とおきましょう。

\begin{align}
\int_m^Mk(X,r)\psi(X,y)\,dX
\end{align}

$n\ge 4$ の場合、この関数を $r$ に関して微分してみます。

\begin{align}
\partial_r\int_m^Mk(X,r)\psi(X,y)\,dX&=\partial_r\int_0^{M-m}k(X+m,r)\psi(X+m,y)\,dX\\
&=(\partial M-\partial m)k(M,r)\psi(M,y)+\int_0^{M-m}\partial_rk(X+m,r)\psi(X+m,y)\,dX\\
&\quad+\partial m\int_0^{M-m}\partial_Xk(X+m,r)\psi(X+m,y)\,dX+\partial m\int_0^{M-m}k(X+m,r)\partial_X\psi(X+m,y)\,dX\\
&=\partial Mk(M,r)\psi(M,y)-\partial mk(m,r)\psi(m,y)+\int_m^M\partial_rk(X,r)\psi(X,y)\,dX\\
&=\int_m^M\partial_rk(X,r)\psi(X,y)\,dX
\end{align}

ここで $\partial_rk$ の端点でのオーダーは $X=m$ の近傍で $(n-5)/2$、$X=M$ の近傍で $(n-3)/2$ となりますね。これを繰り返すと帰納的に $n$ が偶数の場合は $(-1/2,1/2)$ というオーダーの組み合わせ、$n$ が奇数の場合は $(0,1)$ というオーダーの組み合わせが得られます。このように次数を減らした積分核を再度 $k$ とおき直すことにしましょう。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究155- 端点で異なるオーダーで振る舞う積分核その２

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$k(x)$ が $x=0$ の右近傍で $-1/2$ の次数で発散する場合から考えます。ここで

\begin{align}
k(x)=cx^{-1/2}+O(x^{1/2})
\end{align}

と書いておきましょう。さて

\begin{align}
\mu_0(x)=
\begin{cases}
x^{-1/2}\ \text{for }x>0,\\
0\ \text{otherwise}
\end{cases}
\end{align}

なる関数を $k$ に畳込むと、原点の右近傍で

\begin{align}
(\mu_0\ast k)(y)=\int_0^y(y-x)^{-1/2}\{cx^{-1/2}+O(x^{1/2})\}\,dx=\pi c+O(y)
\end{align}

となります。したがって $\mu_0\ast k$ は原点近傍でヘヴィサイド関数のように振る舞いますね。これを少し改良すれば、或る関数 $\mu$ が存在して $\mu\ast k$ がヘヴィサイド関数となるようにすることができます。


続いて $k(x)$ が $x=0$ の右近傍で $0$ 次の場合ですが、こちらは $\mu_0$ をデルタ関数にとってみれば同様に考えることができるので省略します。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究156- 畳み込みによる積分核の変形その１