$k(x)$ が $x=0$ の右近傍で $-1/2$ の次数で発散する場合から考えます。ここで

\begin{align} k(x)=cx^{-1/2}+O(x^{1/2}) \end{align}

と書いておきましょう。さて

\begin{align} \mu_0(x)= \begin{cases} x^{-1/2}\ \text{for }x>0,\\ 0\ \text{otherwise} \end{cases} \end{align}

なる関数を $k$ に畳込むと、原点の右近傍で

\begin{align} (\mu_0\ast k)(y)=\int_0^y(y-x)^{-1/2}\{cx^{-1/2}+O(x^{1/2})\}\,dx=\pi c+O(y) \end{align}

となります。したがって $\mu_0\ast k$ は原点近傍でヘヴィサイド関数のように振る舞いますね。これを少し改良すれば、或る関数 $\mu$ が存在して $\mu\ast k$ がヘヴィサイド関数となるようにすることができます。

続いて $k(x)$ が $x=0$ の右近傍で $0$ 次の場合ですが、こちらは $\mu_0$ をデルタ関数にとってみれば同様に考えることができるので省略します。今回はここまで。(written by J.Nishigata)

研究157- 畳み込みによる積分核の変形その２