前回は端点 $X=m,M$ でオーダーの異なる積分核を構築しました。説明し易いように $X=m$ の近傍でのオーダーを $(n-3)/2$、$X=M$ の近傍でのオーダーを $(n-1)/2$ としておきます。このような積分核を改めて $k$ とおきましょう。

\begin{align} \int_m^Mk(X,r)\psi(X,y)\,dX \end{align}

$n\ge 4$ の場合、この関数を $r$ に関して微分してみます。

\begin{align} \partial_r\int_m^Mk(X,r)\psi(X,y)\,dX&=\partial_r\int_0^{M-m}k(X+m,r)\psi(X+m,y)\,dX\\ &=(\partial M-\partial m)k(M,r)\psi(M,y)+\int_0^{M-m}\partial_rk(X+m,r)\psi(X+m,y)\,dX\\ &\quad+\partial m\int_0^{M-m}\partial_Xk(X+m,r)\psi(X+m,y)\,dX+\partial m\int_0^{M-m}k(X+m,r)\partial_X\psi(X+m,y)\,dX\\ &=\partial Mk(M,r)\psi(M,y)-\partial mk(m,r)\psi(m,y)+\int_m^M\partial_rk(X,r)\psi(X,y)\,dX\\ &=\int_m^M\partial_rk(X,r)\psi(X,y)\,dX \end{align}

ここで $\partial_rk$ の端点でのオーダーは $X=m$ の近傍で $(n-5)/2$、$X=M$ の近傍で $(n-3)/2$ となりますね。これを繰り返すと帰納的に $n$ が偶数の場合は $(-1/2,1/2)$ というオーダーの組み合わせ、$n$ が奇数の場合は $(0,1)$ というオーダーの組み合わせが得られます。このように次数を減らした積分核を再度 $k$ とおき直すことにしましょう。今回はここまで。(written by J.Nishigata)

研究155- 端点で異なるオーダーで振る舞う積分核その２