以前考えた、球体の必要充分条件を思い出してみましょう。

i). 或る $(x_1,x_2)\in A$ が存在して $x_1-x_2\neq \|x_1-x_2\|\nu(x_1)$
ii). $\Omega$ は定幅であり、かつ或る $(x_1,x_2)\in A$ が存在して $x_1$ でのガウス曲率と $x_2$ でのガウス曲率は等しくない。

少なくとも一方が成立することと $\Omega$ が球体ではないことは同値です。今はポンペイユの逆問題を考えているので、前提として $\Omega$ は球体ではないということになります。したがって i),ii) の少なくとも一方は成立します。

i) が成立すると仮定しましょう。このとき $x_m\neq -\|x_m\|e_1,x_M=\|x_M\|e_1$ となるように $\Omega$ を配置させることが可能です。前回確かめたように、$X=m$ の近傍では $K$ は $(n-3)/2$ 次のオーダーで振る舞いますが $X=M$ の近傍では $(n-1)/2$ 次のオーダーで振る舞います。

一方、i) が成立しない場合はどうなるでしょうか。$x_m=-\|x_m\|e_1,x_M=\|x_M\|e_1$ となるように $\Omega$ を配置して $k^1$ を考えます。$x_m$ でのガウス曲率と $x_M$ でのガウス曲率は異なるとしておきましょう。

\begin{align} &k^1(m+\varepsilon,r)=-\dfrac{\sigma_{n-2}}{2}\varepsilon^{(n-3)/2}(1+O(\varepsilon))\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi_i}},\\ &k^1(M-\varepsilon,r)=\dfrac{\sigma_{n-2}}{2}\varepsilon^{(n-3)/2}(1+O(\varepsilon))\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{2M}{-1+M\tilde{\chi}_i}} \end{align}

続いて $x_m,x_M$ の位置関係が入れ替わるように $\Omega$ を半回転させて $k^1=\tilde{k}^1$ を考えます。

\begin{align} &\tilde{k}^1(m+\varepsilon,r)=-\dfrac{\sigma_{n-2}}{2}\varepsilon^{(n-3)/2}(1+O(\varepsilon))\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\tilde{\chi}_i}},\\ &\tilde{k}^1(M-\varepsilon,r)=\dfrac{\sigma_{n-2}}{2}\varepsilon^{(n-3)/2}(1+O(\varepsilon))\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{2M}{-1+M\chi_i}} \end{align}

$\Omega$ は定幅なので $m,M$ は変わらず、曲率部分のみ入れ替わりますね。ここで

\begin{align} \dfrac{2}{\sigma_{n-2}}k^1\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{1+m\chi_i}{2M}}-\dfrac{2}{\sigma_{n-2}}\tilde{k}^1\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{1+m\tilde{\chi}_i}{2M}} \end{align}

を考えてみましょう。$X=m$ の近傍でのオーダーは $(n-1)/2$ ですね。一方 $X=M$ の近傍では $(n-3)/2$ 次の係数を計算すると

\begin{align} \prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{1+m\chi_i}{-1+M\tilde{\chi}_i}}-\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{1+m\tilde{\chi}_i}{-1+M\chi_i}} \end{align}

$r$ の関数として $r\to\infty$ の漸近挙動を考えると

\begin{align} \prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{1+m\chi_i}{-1+M\tilde{\chi}_i}}-\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{1+m\tilde{\chi}_i}{-1+M\chi_i}}\approx\sqrt{\chi_g/\tilde{\chi}_g}-\sqrt{\tilde{\chi}_g/\chi_g}\neq 0 \end{align}

のように消えないことが分かります。以上により端点でのオーダーが、一方で $(n-1)/2$ 他方で $(n-3)/2$ となる積分核を作ることができました。今回はここまで。(written by J.Nishigata)

研究154- 端点で異なるオーダーで振る舞う積分核その１