前回、微分形式を上手く射影することによって $\xi^p$ から $p$ を分離しました。これを使って以前計算したポンペイユ変換の導関数を書き直すと

\begin{align} &\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\dfrac{\langle p,\nu\rangle}{\langle x,\nu\rangle}\omega,\\ &\partial_p^2g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}\partial_pg^{-1}f\dfrac{\langle p,\nu\rangle}{\langle x,\nu\rangle}\omega,\\ &\partial_{pq}g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\dfrac{-\langle q,x\rangle\langle p,\nu\rangle+\langle p,x\rangle\langle q,\nu\rangle}{\langle x,\nu\rangle}\omega \end{align}

となります。$2$ つ目の式を $p=e_1,\dots,e_n$ に渡り総和をとり

\begin{align} \Delta g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}\dfrac{\partial_{\nu}g^{-1}f}{\langle x,\nu\rangle}\omega \end{align}

を得ます。これでラプラシアンは計算できました。ここからの方針は、一旦ポンペイユ変換を球面の族に関する積分変換

\begin{align} \psi(r,y)=\int_{S^{n-1}}f(rx+y)\omega \end{align}

を使って記述することから始めたいと思います。そのためには、ポンペイユ変換を球面に沿って積分する必要があります。次回は、ポンペイユ変換の積分に関して考えましょう。(written by J.Nishigata)

研究149- ポンペイユ変換のラプラシアン