まず、$\partial\Omega$ 上の体積形式 $\sigma$ を動径方向へ射影しましょう。

\begin{align} \omega=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}x^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n \end{align}

とおくと射影は $\omega/\|x\|=\langle x/\|x\|,\nu(x)\rangle\sigma$ となります。一方 $\sigma$ を $p$ 方向へ射影すると

\begin{align} \xi^p=\langle p,\nu(x)\rangle\sigma \end{align}

ですね。これらを連立させて

\begin{align} \xi^p=\dfrac{\langle p,\nu(x)\rangle}{\langle x,\nu(x)\rangle}\omega \end{align}

が得られます。直感的に理解してしまえば以上の説明で良いのですが、もう少し厳密に考えてみましょう。$x\in\partial\Omega$ であるということは

\begin{align} \langle \nu,dx\rangle=0 \end{align}

が成立するということです。これを用いて式変形をしていきます。

\begin{align} \dfrac{\langle p,\nu(x)\rangle}{\langle x,\nu(x)\rangle}\omega&=\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i,j=1}^n(-1)^{j+1}p^i\nu^ix^j\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\cdots\wedge dx^n\\ &=\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i,j=1}^n(-1)^{i+j+1}\mathrm{sign}(i-j)p^i\nu^ix^j\,dx^i\wedge dx^1\wedge\cdots\hat{i}\hat{j}\cdots\wedge dx^n\\ &\quad+\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}p^i\nu^ix^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\ &=\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i,j=1}^n(-1)^{i+j}\mathrm{sign}(i-j)p^i\nu^jx^j\,dx^j\wedge dx^1\wedge\cdots\hat{i}\hat{j}\cdots\wedge dx^n\\ &\quad+\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}p^i\nu^ix^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\ &=\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i,j=1}^n(-1)^{i+1}p^i\nu^jx^j\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\ &=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}p^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\ &=\xi^p \end{align}

確かに同じ結果が得られましたね。今回はここまで。次回は、今回の結果を使ってポンペイユ変換のラプラシアンを計算しましょう。(written by J.Nishigata)

研究148- 微分形式の射影