ポンペイユ変換の定義を覚えていますか。

\begin{align} \mathscr{P}f:G\ni g\mapsto\int_{\Omega}g^{-1}f\xi \end{align}

ここに $G$ は剛体運動群、$\xi$ は $\mathbb{R}^n$ の体積形式です。

今回は $\mathscr{P}f$ の導関数を計算しましょう。まず、$p\in S^{n-1}$ 方向への導関数は

\begin{align} &\partial_pg^{-1}f\xi=d(g^{-1}f\xi^p),\\ &\xi^p=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}p^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n \end{align}

に注意して

\begin{align} \partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\Omega}\partial_pg^{-1}f\xi=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\xi^p \end{align}

もう一度微分すると

\begin{align} \partial_p^2g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}\partial_pg^{-1}f\xi^p \end{align}

次に回転方向への導関数を計算しましょう。$p$ に直交する単位ベクトル $q$ に対して

\begin{align} (-\langle q,x\rangle\partial_pg^{-1}f+\langle p,x\rangle\partial_qg^{-1}f)\xi=d(-\langle q,x\rangle g^{-1}f\xi^p+\langle p,x\rangle g^{-1}f\xi^q) \end{align}

に注意して

\begin{align} \partial_{pq}g^{-1}\mathscr{P}f(1)&=\int_{\Omega}\partial_{pq}g^{-1}f\xi\\ &=\int_{\Omega}(-\langle q,x\rangle\partial_pg^{-1}f+\langle p,x\rangle\partial_qg^{-1}f)\xi\\ &=\int_{\partial\Omega}-\langle q,x\rangle g^{-1}f\xi^p+\langle p,x\rangle g^{-1}f\xi^q \end{align}

今回はここまで。ラプラシアンを計算し、きれいな形にするためには $\xi^p$ の部分の工夫が必要ですね。次回やりましょう。(written by J.Nishigata)

研究147- ポンペイユ変換の導関数