方針は以前述べた通り背理法を使います。すなわち $\chi_g(\nu^{-1}(x))=\chi_g(\nu^{-1}(-x))$ が成立すると仮定して矛盾を導きます。

\begin{align} \mathrm{vol}(\Omega)&=\dfrac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\dfrac{\langle \nu^{-1}(x),x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega\\ &=\dfrac{1}{2n}\int_{S^{n-1}}\bigg\{\dfrac{\langle \nu^{-1}(x),x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}+\dfrac{\langle \nu^{-1}(-x),-x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(-x))}\bigg\}\omega\\ &=\dfrac{1}{2n}\int_{S^{n-1}}\dfrac{\langle \nu^{-1}(x),x\rangle+\langle \nu^{-1}(-x),-x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega \end{align}

$\Omega$ が定幅であることは既に証明しているので

\begin{align} \mathrm{vol}(\Omega)&=\dfrac{c}{2n}\int_{S^{n-1}}\dfrac{1}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega\\ &=\dfrac{c}{2n}\mathrm{vol}(\partial\Omega) \end{align}

この式を等周不等式に代入しましょう。

\begin{align} \mathrm{vol}(\Omega)^{n-1}&\le\dfrac{\Gamma((n+2)/2)}{n^n\pi^{n/2}}\mathrm{vol}(\partial \Omega)^n\\ &=\dfrac{2^n\Gamma((n+2)/2)}{c^n\pi^{n/2}}\mathrm{vol}(\Omega)^n \end{align}

これを整理すると

\begin{align} \mathrm{vol}(\Omega)\ge \dfrac{c^n\pi^{n/2}}{2^n\Gamma((n+2)/2)} \end{align}

ここで、以前説明した定幅な凸体の体積評価を思い出しましょう。

\begin{align} \mathrm{vol}(\Omega)\le \dfrac{c^n\pi^{n/2}}{2^n\Gamma((n+2)/2)} \end{align}

で、等号成立は球体に限るのでした。両者を比較して、等号成立が得られますが、$\Omega$ は球体ではないと初めに設定しているので矛盾が生じますね。以上で、或る $x$ が存在して $\chi_g(\nu^{-1}(x))\neq\chi_g(\nu^{-1}(-x))$ となることが証明できました。

今回はここまで。(written by J.Nishigata)

研究146- 後半の問題を考える