まず、線素と曲率の関係から調べていきましょう。用いる記号は前回のものを流用します。$\|\partial a\|=1$ だったので、線素は $dt$ ですね。一方、接ベクトルの微分は $e(\xi+\pi/2)\partial\xi\,dt$ すなわちベクトルの角度は $\partial\xi\,dt$ 変化します。したがって、線素に曲率を掛けると角度の微分になります。

一般次元に対しても、主曲率に分解すれば同様の結論が得られます。$y=\nu^{-1}(x)$ によって $\partial\Omega$ から $S^{n-1}$ への引き戻しを考えてみましょう。$\partial\Omega$ の体積形式は $\omega/\chi_g(\nu^{-1}(x))$ へ引き戻されます。ここに $\chi_g$ はガウス曲率です。

以上より、$\Omega$ の体積は

\begin{align} \mathrm{vol}(\Omega)=\dfrac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\dfrac{\langle \nu^{-1}(x),x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega \end{align}

ついでに表面積の式も書いておくと

\begin{align} \mathrm{vol}(\partial\Omega)=\int_{S^{n-1}}\dfrac{1}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega \end{align}

ですね。今回はここまで。次回は、球体の必要充分条件の節でやり残していた後半の命題を考えます。(written by J.Nishigata)

研究145- ガウス曲率を使った体積表示