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$x\in\partial\Omega$ での外向き単位法線ベクトルを $\nu(x)$ とおきます。前回からポンペイユの逆問題への挑戦がスタートしましたが、初めに凸体 $\Omega$ の条件を与えておきたいと思います。$\Omega$ には、前回設定した滑らかさに加えて、$\nu$ が全単射であることも要求しておきます。さて、法線ベクトルが互いに逆向きになる組の集合を

\begin{align}
A=\{(x_1,x_2)\in\partial\Omega\times\partial\Omega:\nu(x_1)+\nu(x_2)=0\}
\end{align}

とおきます。$\Omega$ が球体ではないのであれば、次の内少なくとも一方は成立するでしょうか。


i). 或る $(x_1,x_2)\in A$ が存在して $x_1-x_2\neq \|x_1-x_2\|\nu(x_1)$
ii). $\Omega$ は定幅であり、かつ或る $(x_1,x_2)\in A$ が存在して $x_1$ でのガウス曲率と $x_2$ でのガウス曲率は等しくない。


今回はこの命題を考えましょう。少なくとも一方なので、任意の $(x_1,x_2)\in A$ に対して $x_1-x_2= \|x_1-x_2\|\nu(x_1)$ が成立している場合に  ii) を確認すれば良いですね。


更に、ii) の命題は前半と後半に分かれています。


任意の $(x_1,x_2)\in A$ に対して $x_1-x_2= \|x_1-x_2\|\nu(x_1)$ という性質は、$\Omega$ の任意方向への射影に対しても成立します。また、任意の射影が定幅ならば射影をとる前の立体も定幅です。したがって $n=2$ の場合の問題として定幅であることが証明できれば、帰納的に一般次元の場合でも定幅であると主張できます。これで前半部分は解決できますね。


一方後半部分は、任意の $(x_1,x_2)\in A$ に対して $x_1,x_2$ でのガウス曲率が等しいと仮定したうえで矛盾を導けば良いです。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究144- 球体の必要充分条件

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方針は以前述べた通り背理法を使います。すなわち $\chi_g(\nu^{-1}(x))=\chi_g(\nu^{-1}(-x))$ が成立すると仮定して矛盾を導きます。

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)&=\dfrac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\dfrac{\langle \nu^{-1}(x),x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega\\
&=\dfrac{1}{2n}\int_{S^{n-1}}\bigg\{\dfrac{\langle \nu^{-1}(x),x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}+\dfrac{\langle \nu^{-1}(-x),-x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(-x))}\bigg\}\omega\\
&=\dfrac{1}{2n}\int_{S^{n-1}}\dfrac{\langle \nu^{-1}(x),x\rangle+\langle \nu^{-1}(-x),-x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega
\end{align}

$\Omega$ が定幅であることは既に証明しているので

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)&=\dfrac{c}{2n}\int_{S^{n-1}}\dfrac{1}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega\\
&=\dfrac{c}{2n}\mathrm{vol}(\partial\Omega)
\end{align}

この式を等周不等式に代入しましょう。

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)^{n-1}&\le\dfrac{\Gamma((n+2)/2)}{n^n\pi^{n/2}}\mathrm{vol}(\partial \Omega)^n\\
&=\dfrac{2^n\Gamma((n+2)/2)}{c^n\pi^{n/2}}\mathrm{vol}(\Omega)^n
\end{align}

これを整理すると

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)\ge \dfrac{c^n\pi^{n/2}}{2^n\Gamma((n+2)/2)}
\end{align}

ここで、以前説明した定幅な凸体の体積評価を思い出しましょう。

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)\le \dfrac{c^n\pi^{n/2}}{2^n\Gamma((n+2)/2)}
\end{align}

で、等号成立は球体に限るのでした。両者を比較して、等号成立が得られますが、$\Omega$ は球体ではないと初めに設定しているので矛盾が生じますね。以上で、或る $x$ が存在して $\chi_g(\nu^{-1}(x))\neq\chi_g(\nu^{-1}(-x))$ となることが証明できました。


今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究145- ガウス曲率を使った体積表示