今回は、$\partial_{qu}W=\langle u,V\rangle$ なる $W$ の存在命題を考えます。このような $W$ が存在するためには

\begin{align} \partial_{qu_j}\langle u_k,V\rangle=\partial_{qu_k}\langle u_j,V\rangle \end{align}

が成立する必要性があります。確認してみましょう。

\begin{align} \partial_{qu_j}\langle u_k,V\rangle&=\partial_{qu_j}\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\langle u_k,x\rangle\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\ &=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\langle u_k,x\rangle\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi)(-\langle u_j,x\rangle(1-\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_{u_j}) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

ですので

\begin{align} \int_{\partial S_q}\langle u_j,x\rangle\partial_{u_k} f\omega^q \end{align}

の $j,k$ が交換可能ならば $\partial_{qu_j}\langle u_k,V\rangle=\partial_{qu_k}\langle u_j,V\rangle$ が成立します。分り易いように $\partial S_q$ 上ではなく $S^{n-1}$ 上で考えましょう。

\begin{align} \langle p_j,x\rangle\partial_{p_k}f\omega-\langle p_k,x\rangle\partial_{p_j}f\omega&=\sum_{l=1}^np_j^lx^l\sum_{m=1}^np_k^m\partial_mf\omega-\sum_{m=1}^np_k^mx^m\sum_{l=1}^np_j^l\partial_lf\omega\\ &=\sum_{l,m=1}^np_j^lp_k^m(x^l\partial_m-x_m\partial_l)f\omega \end{align}

より $p_j=e_j,p_k=e_k$ の場合を確認すれば充分です。

\begin{align} (x^j\partial_k-x_k\partial_j)f\omega&=(-1)^{j+1}\partial_kf\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\cdots\wedge dx^n-(-1)^{k+1}\partial_jf\,dx^1\wedge\cdots\hat{k}\cdots\wedge dx^n\\ &=d(f\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\hat{k}\cdots\wedge dx^n) \end{align}

に注意すると

\begin{align} \int_{S^{n-1}}(x^j\partial_k-x_k\partial_j)f\omega=\int_{\partial S^{n-1}}f\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\hat{k}\cdots\wedge dx^n=0 \end{align}

これで交換可能であることが分かりました。さて、$\partial_{qu_j}\langle u_k,V\rangle=\partial_{qu_k}\langle u_j,V\rangle$ を使うと

\begin{align} d(\langle V,dq\rangle)&=d\sum_{j=1}^{n-1}\langle V,u_j\rangle\langle u_j,dq\rangle\\ &=\sum_{j,k=1}^{n-1}\partial_{qu_k}\langle V,u_j\rangle\langle u_k,dq\rangle\wedge\langle u_j,dq\rangle-\sum_{j=1}^{n-1}\langle V,u_j\rangle\langle u_j,dq\rangle\langle q,dq\rangle\\ &=0 \end{align}

球面上の閉曲線上で $\langle V,dq\rangle$ を積分すると零になります。したがって $e_1,q$ を端点とする球面上の任意の曲線 $C$ に対して

\begin{align} \int_C\langle V,dq\rangle \end{align}

は経路 $C$ に依存しないことが分かります。これを $W$ とおきましょう。このとき

\begin{align} \partial_{qu}W=\langle V,u\rangle \end{align}

が成立します。今回はここまで。次回は漸化式の続きをやりましょう。(written by J.Nishigata)

研究84- 球面の族に関する積分変換のポテンシャル