前回、球面の族に関する積分変換の漸化式を作りましたが、$\mathscr{S}_if$ から $\mathscr{V}_if$ を計算するロジックが抜けていました。今回はこの部分の証明をやります。

$\mathscr{V}_if(r,q,z)$ を $q$ の関数として扱いましょう。$V(q)=\mathscr{V}_if(r,q,z)$ とおきます。

\begin{align} d\sum_{j=1}^nV^j\omega^{e_j}=-\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega \end{align}

であることに注意して $v\in S^{n-1}$ に対して

\begin{align} \int_{S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega=-\int_{\partial S_v}\sum_{j=1}^nV^j\omega^{e_j} \end{align}

$v$ に直交する正規直交基底を $\{v_j\}$ とおくと右辺は

\begin{align} -\int_{\partial S_v}\langle V,v\rangle\omega^v+\sum_{j=1}^{n-1}\langle V,v_j\rangle\omega^{v_j} V^j\omega^{e_j} \end{align}

となります。$\partial S_v$ 上では

\begin{align} \langle v,dq\rangle\wedge\omega^{v_j}=(\langle v,q\rangle\langle v_j,q\rangle-\langle v,v_j\rangle)\omega=0 \end{align}

が成立するので

\begin{align} -\int_{\partial S_v}\langle V,v\rangle\omega^v+\sum_{j=1}^{n-1}\langle V,v_j\rangle\omega^{v_j} V^j\omega^{e_j}=-\int_{\partial S_v}\langle V,v\rangle\omega^v \end{align}

以上より

\begin{align} \int_{S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega=-\int_{\partial S_v}\langle V,v\rangle\omega^v \end{align}

が得られます。ここで $\partial_{qu}W=\langle u,V\rangle$ なる $W$ が存在すると仮定しましょう。上の式は

\begin{align} \int_{S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega=-\int_{\partial S_v}\partial_{qv}W\omega^v \end{align}

と変形できます。この式に見覚えはありますね。右辺はファンク変換に球面ラプラシアンを掛けた式です。一方、左辺を $S_v$ 上ではなく $\partial S_v$ 上で積分した場合には

\begin{align} \int_{\partial S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega^v&=\int_{\partial S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\partial_{qu_j}\langle u_j,V\rangle\omega^v\\ &=\int_{\partial S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\partial^2_{qu_j}W\omega^v\\ &=\int_{\partial S_v}\Delta^SW\omega^v \end{align}

となります。以上の $2$ つの式を連立すれば、ファンク-ヘッケの定理より $H^0$ 分の不定性を除いて $W$ を求めることができます。今回はここまで。次回は、$W$ の存在命題を考えます。(written by J.Nishigata)

研究83- 球面の族に関する積分変換と球面上の積分変換の関係その１