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  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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今回は前回までに計算してきた内容を踏まえて $\mathscr{V}_if,\mathscr{S}_if$ の漸化式を作成します。

\begin{align}
&\dfrac{1}{2}\bigg\{\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle\bigg\}-\dfrac{r}{2}\bigg\{\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle\bigg\}+\mathscr{S}_if(r,q,z)\\
&=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (\cos\varphi\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi-r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-1}\varphi \partial_xf\omega^q\bigg\}\,d\varphi+\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi f\omega^q\bigg\}\, d\varphi\\
&=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-1}\varphi \cos\varphi(\sin\varphi\partial_q-\cos\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi+\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi f\omega^q\bigg\}\, d\varphi\\
&=-\bigg[\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-1}\varphi \cos\varphi f\omega^q\bigg]_0^{\pi}+(n-i-1)\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-2}\varphi\cos^2\varphi f\omega^q\bigg\}\, d\varphi
\end{align}

ここで $i < n-1$ ならば右辺は

\begin{align}
(n-i-1)\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-2}\varphi\cos^2\varphi f\omega^q\bigg\}\, d\varphi=(n-i-1)\mathscr{S}_{i+2}f-(n-i-1)\mathscr{S}_if
\end{align}

以上が $1$ つ目の漸化式です。

\begin{align}
&\partial_r\mathscr{V}_if+\dfrac{1}{r}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if-2\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if\\
&=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i}\varphi ((1-\cos\varphi)\partial_x+\sin\varphi\partial_q)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\
&\quad+\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (-x\sin\varphi\partial_q+(1+\cos\varphi)\nabla)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi-\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}q\sin^{n-i}\varphi (1+\cos\varphi)\partial_qf\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\
&\quad-2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi\nabla f\omega^q\bigg\}\,d\varphi+2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}q\sin^{n-i}\varphi \partial_qf\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\
&=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (1-\cos\varphi)(x\partial_x-\nabla)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi+\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}q\sin^{n-i}\varphi (1-\cos\varphi)\partial_qf\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

ここで、球面 $\partial S_q$ に対して勾配の積分と重心の関係式を使いましょう。右辺は

\begin{align}
-\dfrac{n-2}{r}\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi (1-\cos\varphi)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi=-\dfrac{n-2}{r}\mathscr{V}_if
\end{align}

$2$ つ目の漸化式も得られました。

\begin{align}
&\dfrac{1}{r}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if\rangle-\partial_r\mathscr{S}_if+2\partial_q\mathscr{S}_if\\
&=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (-(1-\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\
&\quad-\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi(\sin\varphi\partial_x+(-1+\cos\varphi)\partial_q)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\
&=0
\end{align}

これが $3$ つ目の漸化式です。以上で充分であるか考えてみましょう。初期値として与えられている関数は $\mathscr{S}_2f$ です。$2$ つ目と $3$ つ目の漸化式を使って $\mathscr{V}_2f$ が計算できれば、$1$ つ目の漸化式で $\mathscr{S}_4f$ が得られます。これで、初項から帰納的に計算していくことができそうなことが分かりましたね。今回はここまで。次回は $\mathscr{S}_2f\mapsto\mathscr{V}_2f$ なる計算ができるのか調べていきます。(written by J.Nishigata)


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研究82- 球面の族に関する積分変換の漸化式

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  }
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今回は、$\partial_{qu}W=\langle u,V\rangle$ なる $W$ の存在命題を考えます。このような $W$ が存在するためには

\begin{align}
\partial_{qu_j}\langle u_k,V\rangle=\partial_{qu_k}\langle u_j,V\rangle
\end{align}

が成立する必要性があります。確認してみましょう。

\begin{align}
\partial_{qu_j}\langle u_k,V\rangle&=\partial_{qu_j}\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\langle u_k,x\rangle\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\
&=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\langle u_k,x\rangle\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi)(-\langle u_j,x\rangle(1-\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_{u_j}) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

ですので

\begin{align}
\int_{\partial S_q}\langle u_j,x\rangle\partial_{u_k} f\omega^q
\end{align}

の $j,k$ が交換可能ならば $\partial_{qu_j}\langle u_k,V\rangle=\partial_{qu_k}\langle u_j,V\rangle$ が成立します。分り易いように $\partial S_q$ 上ではなく $S^{n-1}$ 上で考えましょう。

\begin{align}
\langle p_j,x\rangle\partial_{p_k}f\omega-\langle p_k,x\rangle\partial_{p_j}f\omega&=\sum_{l=1}^np_j^lx^l\sum_{m=1}^np_k^m\partial_mf\omega-\sum_{m=1}^np_k^mx^m\sum_{l=1}^np_j^l\partial_lf\omega\\
&=\sum_{l,m=1}^np_j^lp_k^m(x^l\partial_m-x_m\partial_l)f\omega
\end{align}

より $p_j=e_j,p_k=e_k$ の場合を確認すれば充分です。

\begin{align}
(x^j\partial_k-x_k\partial_j)f\omega&=(-1)^{j+1}\partial_kf\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\cdots\wedge dx^n-(-1)^{k+1}\partial_jf\,dx^1\wedge\cdots\hat{k}\cdots\wedge dx^n\\
&=d(f\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\hat{k}\cdots\wedge dx^n)
\end{align}

に注意すると

\begin{align}
\int_{S^{n-1}}(x^j\partial_k-x_k\partial_j)f\omega=\int_{\partial S^{n-1}}f\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\hat{k}\cdots\wedge dx^n=0
\end{align}

これで交換可能であることが分かりました。さて、$\partial_{qu_j}\langle u_k,V\rangle=\partial_{qu_k}\langle u_j,V\rangle$ を使うと

\begin{align}
d(\langle V,dq\rangle)&=d\sum_{j=1}^{n-1}\langle V,u_j\rangle\langle u_j,dq\rangle\\
&=\sum_{j,k=1}^{n-1}\partial_{qu_k}\langle V,u_j\rangle\langle u_k,dq\rangle\wedge\langle u_j,dq\rangle-\sum_{j=1}^{n-1}\langle V,u_j\rangle\langle u_j,dq\rangle\langle q,dq\rangle\\
&=0
\end{align}

球面上の閉曲線上で $\langle V,dq\rangle$ を積分すると零になります。したがって $e_1,q$ を端点とする球面上の任意の曲線 $C$ に対して

\begin{align}
\int_C\langle V,dq\rangle
\end{align}

は経路 $C$ に依存しないことが分かります。これを $W$ とおきましょう。このとき

\begin{align}
\partial_{qu}W=\langle V,u\rangle
\end{align}

が成立します。今回はここまで。次回は漸化式の続きをやりましょう。(written by J.Nishigata)


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研究83- 球面の族に関する積分変換と球面上の積分変換の関係その１