今回は前回までに計算してきた内容を踏まえて $\mathscr{V}_if,\mathscr{S}_if$ の漸化式を作成します。

\begin{align} &\dfrac{1}{2}\bigg\{\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle\bigg\}-\dfrac{r}{2}\bigg\{\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle\bigg\}+\mathscr{S}_if(r,q,z)\\ &=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (\cos\varphi\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi-r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-1}\varphi \partial_xf\omega^q\bigg\}\,d\varphi+\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi f\omega^q\bigg\}\, d\varphi\\ &=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-1}\varphi \cos\varphi(\sin\varphi\partial_q-\cos\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi+\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi f\omega^q\bigg\}\, d\varphi\\ &=-\bigg[\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-1}\varphi \cos\varphi f\omega^q\bigg]_0^{\pi}+(n-i-1)\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-2}\varphi\cos^2\varphi f\omega^q\bigg\}\, d\varphi \end{align}

ここで $i < n-1$ ならば右辺は

\begin{align} (n-i-1)\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-2}\varphi\cos^2\varphi f\omega^q\bigg\}\, d\varphi=(n-i-1)\mathscr{S}_{i+2}f-(n-i-1)\mathscr{S}_if \end{align}

以上が $1$ つ目の漸化式です。

\begin{align} &\partial_r\mathscr{V}_if+\dfrac{1}{r}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if-2\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if\\ &=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i}\varphi ((1-\cos\varphi)\partial_x+\sin\varphi\partial_q)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\ &\quad+\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (-x\sin\varphi\partial_q+(1+\cos\varphi)\nabla)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi-\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}q\sin^{n-i}\varphi (1+\cos\varphi)\partial_qf\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\ &\quad-2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi\nabla f\omega^q\bigg\}\,d\varphi+2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}q\sin^{n-i}\varphi \partial_qf\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\ &=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (1-\cos\varphi)(x\partial_x-\nabla)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi+\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}q\sin^{n-i}\varphi (1-\cos\varphi)\partial_qf\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

ここで、球面 $\partial S_q$ に対して勾配の積分と重心の関係式を使いましょう。右辺は

\begin{align} -\dfrac{n-2}{r}\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi (1-\cos\varphi)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi=-\dfrac{n-2}{r}\mathscr{V}_if \end{align}

$2$ つ目の漸化式も得られました。

\begin{align} &\dfrac{1}{r}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if\rangle-\partial_r\mathscr{S}_if+2\partial_q\mathscr{S}_if\\ &=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (-(1-\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\ &\quad-\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi(\sin\varphi\partial_x+(-1+\cos\varphi)\partial_q)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\ &=0 \end{align}

これが $3$ つ目の漸化式です。以上で充分であるか考えてみましょう。初期値として与えられている関数は $\mathscr{S}_2f$ です。$2$ つ目と $3$ つ目の漸化式を使って $\mathscr{V}_2f$ が計算できれば、$1$ つ目の漸化式で $\mathscr{S}_4f$ が得られます。これで、初項から帰納的に計算していくことができそうなことが分かりましたね。今回はここまで。次回は $\mathscr{S}_2f\mapsto\mathscr{V}_2f$ なる計算ができるのか調べていきます。(written by J.Nishigata)

研究82- 球面の族に関する積分変換の漸化式