$\mathscr{V}_if(r,q,z),\mathscr{S}_if(r,q,z)$ の積分領域は $rq+z$ を中心とする半径 $r$ の球面です。一方、$\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq),\mathscr{S}_if(r,-q,z+2rq)$ の積分領域も同じく $rq+z$ を中心とする半径 $r$ の球面になっています。この相関から何が得られるでしょうか。

\begin{align} &I_1=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}A(\varphi,q,x)f(rx\sin\varphi+rq\cos\varphi+rq+z)\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\ &I_2=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_{-q}}A(\varphi,-q,x)f(rx\sin\varphi-rq\cos\varphi+rq+z)\omega^{-q}\bigg\}\,d\varphi \end{align}

このような $2$ 者を比較してみましょう。$I_2$ は曲面 $\partial S_q$ の向きが逆になっていますが、微分形式の向きもそれに合わせて逆向きになっているので相殺します。

\begin{align} I_2=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}A(\varphi,-q,x)f(rx\sin\varphi-rq\cos\varphi+rq+z)\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

更に $\varphi=\pi-\varphi$ の置換を実行すると

\begin{align} I_2=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}A(\pi-\varphi,-q,x)f(rx\sin\varphi+rq\cos\varphi+rq+z)\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

すなわち $A$ の引数を $(\varphi,q,x)\mapsto(\pi-\varphi,-q,x)$ に変更すると $I_1$ から $I_2$ へ変わるということが分かります。今まで計算してきた式にこれをあてはめてみましょう。

まず、$\mathscr{V}_if$ の定義式から

\begin{align} &\mathscr{V}_if(r,q,z)=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\ &\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi(1+\cos\varphi) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

和と差を考えれば

\begin{align} &\mathscr{V}_if(r,q,z)+\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)=2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi f\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\ &\mathscr{V}_if(r,q,z)-\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)=-2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi\cos\varphi f\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

続いて $q$ に関して微分した式から

\begin{align} &\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (-(1-\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\ &\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi ((1+\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

これも同様に和と差をとり

\begin{align} &\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=2r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (\cos\varphi\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\ &\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle-\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=-2r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi \partial_qf\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

$z$ に関して微分した式からも同様にして計算すると

\begin{align} &\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-1}\varphi \partial_xf\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\ &\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle-\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=-2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-1}\varphi\cos\varphi \partial_xf\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

が得られます。今回はここまで。次回は球面の族に関する積分変換の漸化式を作ります。(written by J.Nishigata)

研究81- 偶関数成分と奇関数成分の分離