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  },
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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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前回は $\mathscr{V}_if$ の導関数を計算しましたので、今回は $\mathscr{S}_if$ の計算をやりましょう。動径方向への微分は

\begin{align}
\partial_r\mathscr{S}_if&=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi(\sin\varphi\partial_x+(1+\cos\varphi)\partial_q)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

続いて $u\in\partial S_q$ 方向への変数 $q$ に関する微分は

\begin{align}
\partial_{qu}\mathscr{S}_if&=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (-\langle u,x\rangle\sin\varphi\partial_q+(1+\cos\varphi)\partial_u)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

$z$ に関する微分は

\begin{align}
\partial_u\mathscr{S}_if&=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi\partial_uf\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

今回も前回と同じように回転不変な式を作ってみると

\begin{align}
\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (-x\sin\varphi\partial_q+(1+\cos\varphi)\nabla)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi-r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}q\sin^{n-i}\varphi (1+\cos\varphi)\partial_qf\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

もう一方は

\begin{align}
q\partial_q\mathscr{S}_if+\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi\nabla f\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

今回はここまで。次回は、漸化式の作成時に必要となる、勾配と重心の関係式について考えます。(written by J.Nishigata)


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研究79- 球面の族に関する積分変換の導関数その２

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    inlineMath: [['$', '$']]
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$\mathscr{V}_if(r,q,z),\mathscr{S}_if(r,q,z)$ の積分領域は $rq+z$ を中心とする半径 $r$ の球面です。一方、$\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq),\mathscr{S}_if(r,-q,z+2rq)$ の積分領域も同じく $rq+z$ を中心とする半径 $r$ の球面になっています。この相関から何が得られるでしょうか。

\begin{align}
&I_1=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}A(\varphi,q,x)f(rx\sin\varphi+rq\cos\varphi+rq+z)\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\
&I_2=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_{-q}}A(\varphi,-q,x)f(rx\sin\varphi-rq\cos\varphi+rq+z)\omega^{-q}\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

このような $2$ 者を比較してみましょう。$I_2$ は曲面 $\partial S_q$ の向きが逆になっていますが、微分形式の向きもそれに合わせて逆向きになっているので相殺します。

\begin{align}
I_2=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}A(\varphi,-q,x)f(rx\sin\varphi-rq\cos\varphi+rq+z)\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

更に $\varphi=\pi-\varphi$ の置換を実行すると

\begin{align}
I_2=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}A(\pi-\varphi,-q,x)f(rx\sin\varphi+rq\cos\varphi+rq+z)\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

すなわち $A$ の引数を $(\varphi,q,x)\mapsto(\pi-\varphi,-q,x)$ に変更すると $I_1$ から $I_2$ へ変わるということが分かります。今まで計算してきた式にこれをあてはめてみましょう。


まず、$\mathscr{V}_if$ の定義式から

\begin{align}
&\mathscr{V}_if(r,q,z)=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\
&\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi(1+\cos\varphi) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

和と差を考えれば

\begin{align}
&\mathscr{V}_if(r,q,z)+\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)=2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi f\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\
&\mathscr{V}_if(r,q,z)-\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)=-2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi\cos\varphi f\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

続いて $q$ に関して微分した式から

\begin{align}
&\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (-(1-\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\
&\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi ((1+\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

これも同様に和と差をとり

\begin{align}
&\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=2r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (\cos\varphi\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\
&\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle-\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=-2r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi \partial_qf\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

$z$ に関して微分した式からも同様にして計算すると

\begin{align}
&\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-1}\varphi \partial_xf\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\
&\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle-\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=-2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-1}\varphi\cos\varphi \partial_xf\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

が得られます。今回はここまで。次回は球面の族に関する積分変換の漸化式を作ります。(written by J.Nishigata)


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研究80- 勾配の積分と重心の関係式