前回は $\mathscr{V}_if$ の導関数を計算しましたので、今回は $\mathscr{S}_if$ の計算をやりましょう。動径方向への微分は

\begin{align} \partial_r\mathscr{S}_if&=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi(\sin\varphi\partial_x+(1+\cos\varphi)\partial_q)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

続いて $u\in\partial S_q$ 方向への変数 $q$ に関する微分は

\begin{align} \partial_{qu}\mathscr{S}_if&=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (-\langle u,x\rangle\sin\varphi\partial_q+(1+\cos\varphi)\partial_u)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

$z$ に関する微分は

\begin{align} \partial_u\mathscr{S}_if&=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi\partial_uf\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

今回も前回と同じように回転不変な式を作ってみると

\begin{align} \sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (-x\sin\varphi\partial_q+(1+\cos\varphi)\nabla)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi-r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}q\sin^{n-i}\varphi (1+\cos\varphi)\partial_qf\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

もう一方は

\begin{align} q\partial_q\mathscr{S}_if+\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi\nabla f\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

今回はここまで。次回は、漸化式の作成時に必要となる、勾配と重心の関係式について考えます。(written by J.Nishigata)

研究79- 球面の族に関する積分変換の導関数その２