$\mathscr{V}_if$ の導関数から計算していきましょう。まずは、動径方向への導関数から計算します。関数 $f$ の引数が $rx\sin\varphi+rq\cos\varphi+rq+z$ であることに注意して

\begin{align} \partial_r\mathscr{V}_if&=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi) (\sin\varphi\partial_x+(1+\cos\varphi)\partial_q)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\ &=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi (\sin\varphi(1-\cos\varphi)\partial_x+\sin^2\varphi\partial_q)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\ &=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i}\varphi ((1-\cos\varphi)\partial_x+\sin\varphi\partial_q)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

続いて $u\in\partial S_q$ 方向へ変数 $q$ に関して微分します。

\begin{align} \partial_{qu}\mathscr{V}_if&=-\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\langle u,x\rangle q\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\ &\quad+r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi) (-\langle u,x\rangle\sin\varphi\partial_q+(1+\cos\varphi)\partial_u)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\ &=-\langle u,\mathscr{V}_if\rangle q+r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i}\varphi (-\langle u,x\rangle(1-\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_u)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

$z$ に関する微分は自明ですが、一応やっておくと

\begin{align} \partial_u\mathscr{V}_if&=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi) \partial_uf\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

以上で微分の計算はできました。向きに依存する微分演算子が登場した場合には、ラプラシアンのような回転不変な演算子を作れないか気になります。試しに作ってみると

\begin{align} \sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if\rangle&=-\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\mathscr{V}_if\rangle \langle u_j,q\rangle+r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,x\rangle\sin^{n-i}\varphi (-\langle u_j,x\rangle(1-\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_{u_j})f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\ &=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (-(1-\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

もう一方は

\begin{align} \sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if\rangle&=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi) \partial_xf\omega^q\bigg\}\,d\varphi \end{align}

期待通りに回転依存しない式が得られました。ここに $\{u_j\}$ は $q$ に直交する正規直交基底です。今回はここまで。次回はもう一方の積分変換の導関数を計算します。(written by J.Nishigata)

研究78- 球面の族に関する積分変換の導関数その１