まず、積分変換を定義しましょう。

\begin{align} \mathscr{K}f(y)=\int_{S_y}\dfrac{f(x)\langle y,\nu(x)\rangle}{\langle x,\nu(x)\rangle}\omega \end{align}

$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^+$ は $2$ 階微分連続であるとします。この積分変換は射影測度と呼ばれています。$\alpha=1$ の場合、$\omega/\langle x,\nu(x)\rangle$ は曲面 $f(x)x$ 上の体積形式であり、重さ $f(x)$ を掛けた後に $y$ 方向へ射影をとっていると解釈すればイメージし易いでしょう。さて、少しだけ計算すると

\begin{align} \mathscr{K}f(y)=\dfrac{1}{\alpha}\int_{S_y}(\alpha \langle x,y\rangle f+\langle x,y\rangle\partial_xf-\partial_yf)\omega \end{align}

ここで

\begin{align} d(f\omega^y)=((n-1)\langle x,y\rangle f+\langle x,y\rangle\partial_xf-\partial_yf)\omega \end{align}

に注意すると

\begin{align} \mathscr{K}f(y)&=\dfrac{1}{\alpha}\int_{S_y}d(f\omega^y)-(n-1-\alpha)\langle x,y\rangle f\omega\\ &=\dfrac{1}{\alpha}\int_{\partial S_y}f\omega^y-\dfrac{n-1-\alpha}{\alpha}\int_{S_y}\langle x,y\rangle f\omega \end{align}

と変形できます。この式の形に見覚えはありますか。半球面コサイン変換

\begin{align} \mathscr{K}_cf(y)=\int_{S_y}\langle x,y\rangle f\omega \end{align}

のラプラシアン像は

\begin{align} \Delta^S\mathscr{K}_cf+(n-1)\mathscr{K}_cf=\int_{\partial S_y}f\omega^y \end{align}

でしたね。これを使うと

\begin{align} \mathscr{K}f(y)=\mathscr{K}_cf(y)+\dfrac{1}{\alpha}\Delta^S\mathscr{K}_cf(y) \end{align}

と書けます。半球面コサイン変換に関する、ファンク-ヘッケの因子を $m_k$ とおくと、射影測度の係数は

\begin{align} \dfrac{\alpha+\lambda_k}{\alpha}m_k \end{align}

これで射影測度の解析は終わりです。今回はヒルベルト変換は関係なかったですね。今回はここまで。ヒルベルト変換と関係なく様々な積分幾何学の具体例を見ていくことに方針を変えましょう。(written by J.Nishigata)

研究69- 射影測度