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  }
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$\{\psi,\partial_r\psi\}\mapsto f$ のフィルタサイズは、半径 $2r$ だったり $3r$ だったり、今推測している $r$ だったり、一意的ではありません。これらのフィルタ同士の差は何でしょうか。


理論的にはどのフィルタを使っても同じ結果が得られる、ということは、フィルタの差分は理論的に零になるものであると言えます。


今までの議論で、理論的に零である式が $2$ つ有りました。覚えているでしょうか。ここで話題に上げたいものは

\begin{align}
r\int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta=\mathscr{H}f(2\pi,z)-\mathscr{H}f(0,z)=0
\end{align}

という式です。左辺には半径 $r$ のフィルタが掛かっていますが、右辺は零です。このフィルタの何らかの畳込み像が反転公式の各フィルタの差分になっているのではないかと考えられます。


この点を踏まえて、次回は最小サイズのフィルタを導こうと思います。(written by J.Nishigata)


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研究52- フィルタサイズの差の要因

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前回に引き続き反転公式の計算を進めます。前回の最後に得られた式を振り返りましょう。

\begin{align}
A&=-2r\int_0^1\bigg\{\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{1}{\sin\phi+(1+X^2)/(2X)}\partial_r\psi(r,z+rXe(\tau))\\
&\quad +\dfrac{\sin\phi}{\sin\phi+(1+X^2)/(2X)}\partial_{e(\tau)}\psi(r,z+rXe(\tau))\,d\phi\bigg\}\,d\tau\bigg\}\,dX
\end{align}

反転公式に含まれる積分の回数は、ヒルベルト変換の計算に $1$ 回、逆ヒルベルト変換に $1$ 回、安定化に $1$ 回でトータル $3$ 重に掛かっています。しかし、最後の式を見てみると、$\phi$ に関する積分は簡単になりそうな気がしますね。

\begin{align}
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{d\phi}{a+\sin \phi},\ a > 1
\end{align}

$t=\tan(\phi/2)$ で置換すると

\begin{align}
&dt=\dfrac{d\phi}{2\cos^2(\phi/2)}=\dfrac{1+t^2}{2}\,d\phi,\\
&\dfrac{1}{a+\sin \phi}=\dfrac{1}{a+2\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)}=\dfrac{1+t^2}{a(1+t^2)+2t}
\end{align}

となることに注意して

\begin{align}
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{d\phi}{a+\sin \phi}=2\int_{-1}^1\dfrac{dt}{a(1+t^2)+2t}=2\int_{-1}^1\dfrac{dt}{\{\sqrt{a}t+1/\sqrt{a}\}^2+a-1/a}
\end{align}

更に

\begin{align}
\sqrt{a-\dfrac{1}{a}}\tan\theta=\sqrt{a}t+\dfrac{1}{\sqrt{a}}
\end{align}

と置換すると

\begin{align}
2\int_{-1}^1\dfrac{dt}{\{\sqrt{a}t+1/\sqrt{a}\}^2+a-1/a}=\dfrac{2}{\sqrt{a^2-1}}\int_{\theta_1}^{\theta_2}d\theta=\dfrac{2}{\sqrt{a^2-1}}(\theta_2-\theta_1)
\end{align}

このように積分ができました。積分区間は

\begin{align}
\sqrt{a-\dfrac{1}{a}}\tan\theta_1=-\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{a}},\ \sqrt{a-\dfrac{1}{a}}\tan\theta_2=\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}
\end{align}

を解けば求まりますが、$2$ つの式の積を計算することによって

\begin{align}
\bigg(a-\dfrac{1}{a}\bigg)\tan\theta_1\tan\theta_2=-a+\dfrac{1}{a}
\end{align}

すなわち $\tan\theta_1\tan\theta_2=-1$ であることから $\theta_2-\theta_1=\pi/2$ であることが分かりますね。以上より

\begin{align}
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{d\phi}{a+\sin \phi}=\dfrac{\pi}{\sqrt{a^2-1}}
\end{align}

が得られます。これを反転公式の計算に使うと

\begin{align}
A=-4\pi r\int_0^1\bigg\{\int_0^{2\pi}\bigg\{\dfrac{X}{1-X^2}\partial_r\psi(r,z+rXe(\tau))-\dfrac{X^2}{1-X^2}\partial_{e(\tau)}\psi(r,z+rXe(\tau))\bigg\}\,d\tau\bigg\}\,dX
\end{align}

シンプルな式になりましたね。今回はここまで。ノンブラインド-デコンボリューションの話は一旦クローズします。次回は、デコンボリューション以外でのヒルベルト変換の応用を紹介していきます。(written by J.Nishigata)


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研究53- 最小な反転公式フィルタの導出