$\{\psi,\partial_r\psi\}\mapsto f$ のフィルタサイズは、半径 $2r$ だったり $3r$ だったり、今推測している $r$ だったり、一意的ではありません。これらのフィルタ同士の差は何でしょうか。

理論的にはどのフィルタを使っても同じ結果が得られる、ということは、フィルタの差分は理論的に零になるものであると言えます。

今までの議論で、理論的に零である式が $2$ つ有りました。覚えているでしょうか。ここで話題に上げたいものは

\begin{align} r\int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta=\mathscr{H}f(2\pi,z)-\mathscr{H}f(0,z)=0 \end{align}

という式です。左辺には半径 $r$ のフィルタが掛かっていますが、右辺は零です。このフィルタの何らかの畳込み像が反転公式の各フィルタの差分になっているのではないかと考えられます。

この点を踏まえて、次回は最小サイズのフィルタを導こうと思います。(written by J.Nishigata)

研究52- フィルタサイズの差の要因