次のような直線の族を考えます。

\begin{align} \chi(t,u,v)(s)=(s-t)(\sin u,-\cos u)+v(\cos u,\sin u)+(x_0,y_0) \end{align}

前回の条件 i)ii)iii) は明らかに成立します。導関数を計算すると

\begin{align} &\partial_u\chi(t,u,0)(s)=(s-t)(\cos u,\sin u)\\ &\partial_v\chi(t,u,0)(s)=(\cos u,\sin u) \end{align}

となるので $\gamma=s-t$。これで iv)v) も確認できました。後は $u_1,u_2$ も決めておきたいですね。$u_1=0,u_2=2\pi$ とすれば $s > 0,s < 0$ の積分が相殺して

\begin{align} C=\int_0^{2\pi}\mathscr{H}f(t,u)\,du=0 \end{align}

となります。今回はここまで。次回も具体例をやりましょう。(written by J.Nishigata)

研究46- ヒルベルト変換の応用例その１