デコンボリューションの話題の後半に当たる $\psi\mapsto f$ を考えるということから突然にヒルベルト変換の話が出てきて、不思議だったかもしれません。今回、そのロジックを回収します。

まず、$\mathbb{R}^n$ 上の曲線の族 $\{\chi(t,u,v):(a,b)\to\mathbb{R}^n\}$ を定義します。

i). $v=0$ で $\chi$ は弧長表示されている。
ii). $\chi$ は $u,v$ に関して微分連続である。
iii). $v=0$ での $u$ に関する部分族は不動点 $\chi(t,u,0)(t)$ をもつ。
iv). $\gamma(t,s)$ が存在して $\partial_u\chi(t,u,0)(s)=\gamma(t,s)\partial_v\chi(t,u,0)(s)$ が成立する。

曲線 $\chi$ 上で微分連続関数を積分しましょう。

\begin{align} \mathscr{E}f(t,u,v)=\int_a^bf(\chi(t,u,v)(s))\,ds \end{align}

デコンボリューションに登場した $\psi$ と対応付けると、$\chi$ は半径 $r$ の円周、$u,v$ はそれぞれ回転運動と相似運動に対応し、$\mathscr{E}f$ が $\psi$ に対応しています。

目的は $\mathscr{E}$ の反転公式の導出です。その工程でヒルベルト変換が登場します。

\begin{align} \partial_v\mathscr{E}f(t,u,0)=\int_a^b\langle\partial_v\chi,\nabla\rangle f\,ds \end{align}

条件 iv) を使うと

\begin{align} \partial_v\mathscr{E}f(t,u,0)&=\int_a^b\dfrac{1}{\gamma}\langle\partial_u\chi,\nabla\rangle f\,ds\\ &=\int_a^b\partial_u\dfrac{f(\chi)}{\gamma}\,ds \end{align}

ここで条件 iii) がヒントになっているのですが、右辺を見てヒルベルト変換になっていたら嬉しいと思いたいですね。すなわち

v). $1/\gamma$ は拡張ヒルベルト変換の積分核である。

という条件を追加しましょう。すると、拡張ヒルベルト変換

\begin{align} \mathscr{H}f(t,u)=\mathrm{pv.}\int_a^b\dfrac{f(\chi(t,u,0)(s))}{\gamma(t,s)}\,ds \end{align}

を定義して $\partial_v\mathscr{E}f(t,u,0)=\partial_u\mathscr{H}f(t,u)$ と変形することができます。これを $\mathscr{H}f$ に関して解けば、拡張ヒルベルト変換の反転公式により $f$ が求まります。$u$ で積分すると

\begin{align} \int_{u_0}^u\partial_v\mathscr{E}f(t,u,0)\,du=\mathscr{H}f(t,u)-\mathscr{H}f(t,u_0) \end{align}

或る $u_1,u_2$ に対して

\begin{align} C(t)=\int_{u_1}^{u_2}\mathscr{H}f(t,u)\,du \end{align}

とおくと $\mathscr{E}f$ の積分をもう一回積分して

\begin{align} \int_{u_1}^{u_2}\bigg\{\int_{u_0}^u\partial_v\mathscr{E}f(t,u,0)\,du\bigg\}\,du=C(t)-(u_2-u_1)\mathscr{H}f(t,u_0) \end{align}

が得られます。少し式変形すると

\begin{align} \mathscr{H}f(t,u_0)=\dfrac{C(t)}{u_2-u_1}-\dfrac{1}{u_2-u_1}\int_{u_1}^{u_2}\bigg\{\int_{u_0}^u\partial_v\mathscr{E}f(t,u,0)\,du\bigg\}\,du \end{align}

となりますね。これを $\mathscr{E}f$ を積分した式に代入します。

\begin{align} \mathscr{H}f(t,u)=\int_{u_0}^u\partial_v\mathscr{E}f(t,u,0)\,du+\dfrac{C(t)}{u_2-u_1}-\dfrac{1}{u_2-u_1}\int_{u_1}^{u_2}\bigg\{\int_{u_0}^u\partial_v\mathscr{E}f(t,u,0)\,du\bigg\}\,du \end{align}

$u_1,u_2$ を上手く決めなければならない問題はありますが、拡張ヒルベルト像の計算はできました。拡張ヒルベルト変換を単射にするためには $I_f$ を知る必要がありますが、今の場合は $I_f=\mathscr{E}f$ ですので安心して単射であると主張できます。

今回はここまで。次回は具体例をやりましょう。(written by J.Nishigata)

研究45- 曲線上の積分とヒルベルト変換