次のような曲線の族を考えます。

\begin{align} &\chi^1(t,u,v)(s)=\cos(s-t)\cos t-\sin(s-t)\sin t\cos u+v\sin t\sin u,\\ &\chi^2(t,u,v)(s)=\cos(s-t)\sin t+\sin(s-t)\cos t\cos u-v\cos t\sin u,\\ &\chi^3(t,u,v)(s)=\sin(s-t)\sin u+v\cos u \end{align}

この曲線はどんな曲線かというと

\begin{align} \chi= \begin{pmatrix} \cos t\\ \sin t\\ 0 \end{pmatrix} \cos(s-t)+ \begin{pmatrix} -\sin t\cos u\\ \cos t\cos u\\ \sin u \end{pmatrix} \sin(s-t)+ \begin{pmatrix} \sin t\sin u\\ -\cos t\sin u\\ \cos u \end{pmatrix} v \end{align}

と変形すれば半径 $1$ の円周であることが確認できますね。では曲線の族の満たす条件を確認していきましょう。i)ii)iii) は明らかです。導関数を計算すると

\begin{align} &\partial_u\chi(t,u,0)(s)= \begin{pmatrix} \sin t\sin u\\ -\cos t\sin u\\ \cos u \end{pmatrix} \sin(s-t)\\ &\partial_v\chi(t,u,0)(s)= \begin{pmatrix} \sin t\sin u\\ -\cos t\sin u\\ \cos u \end{pmatrix} \end{align}

となるので $\gamma=\sin(s-t)$。これで iv)v) も確認できました。$u_1=0,u_2=2\pi$ とすれば

\begin{align} C=\int_0^{2\pi}\mathscr{H}f(t,u)\,du=0 \end{align}

となります。今回はここまで。次回も具体例をやりましょう。(written by J.Nishigata)

研究47- ヒルベルト変換の応用例その２