前回は積分核が $\cos x/\sin x$ の場合の拡張をやりました。今回は $1/\sin x$ のヒルベルト変換の拡張をやります。

i). $\kappa:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ は連続関数である。
ii). $\kappa(x,y)\sin(x-y)\ge 1$ が成立する。
iii). 任意の $a$ に対して連続な有界関数 $\eta:(a,a+\pi)\to\mathbb{R}^+$ が存在して $x,y_1,y_2\in(a,a+\pi),y_1 < y_2$ のとき

\begin{align} -\eta(y_1)\{1+\sin(x-y_1)\kappa(x,y_1)\}\sin(x-y_2)+\eta(y_2)\{1+\sin(x-y_2)\kappa(x,y_2)\}\sin(x-y_1)\ge 0 \end{align}

iv). $\kappa$ は半周期性 $\kappa(x,y)=-\kappa(x+\pi,y)=-\kappa(x,y+\pi)$ をもつ。

このような $\kappa$ に対して

\begin{align} K(x,y)=\dfrac{1}{\sin(x-y)}+\kappa(x,y) \end{align}

を積分核とする積分変換

\begin{align} \mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_{y-\pi/2}^{y+\pi/2}K(x,y)f(x)\,dx \end{align}

を円周上の拡張ヒルベルト変換とします。許容関数は半周期 $\pi$ の微分連続関数としておくと良いでしょう。このように関数を制限しておけば、この拡張ヒルベルト変換は単射になります。今回はここまで。これで一旦ヒルベルト変換の話は終了します。次回はヒルベルト変換と積分幾何学の関連性について説明します。(written by J.Nishigata)

研究44- 円周上のヒルベルト変換の拡張その２