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次のような積分変換を考えてみましょう。

\begin{align}
\mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(x-y)}{\sin(x-y)}f(x)\,dx
\end{align}

積分核を分離して

\begin{align}
\mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos(x-y)}{\sin(x-y)}f(x)\,dx+\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{\sin(x-y)}f(x)\,dx
\end{align}

とすれば円周上のヒルベルト変換の性質が使えます。

\begin{align}
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx}
\end{align}

を代入してみましょう。

\begin{align}
\mathscr{H}f(y)=-2\pi i\sum_{n=-\infty}^{-1}c_ne^{iny}+2\pi i\sum_{n=1}^{\infty}c_ne^{iny}
\end{align}

定数項が消えてしまっていますね。残念ながらこの積分変換は定数分の不定性があり単射ではありません。以前説明した通り、単射にするためには

\begin{align}
I_f=\int_0^{2\pi}f\,dx(=2\pi c_0)
\end{align}

が必要になります。$f\mapsto\{\mathscr{H}f,I_f\}$ とすれば単射になります。続いて反転公式を考えてみましょう。$\mathscr{H}f$ はもう一回ヒルベルト変換することができます。

\begin{align}
\mathscr{H}^2f(y)&=-4\pi^2\sum_{n\neq 0}c_ne^{iny}\\
&=-4\pi^2\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{iny}+2\pi I_f\\
&=-4\pi^2f(y)+2\pi I_f
\end{align}

非常にきれいな反転公式が完成しました。今回はここまで。次回は円周上のヒルベルト変換を拡張します。(written by J.Nishigata)


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研究42- 円周上のヒルベルト変換の組み合わせ

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前回は積分核が $\cos x/\sin x$ の場合の拡張をやりました。今回は $1/\sin x$ のヒルベルト変換の拡張をやります。


i). $\kappa:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ は連続関数である。
ii). $\kappa(x,y)\sin(x-y)\ge 1$ が成立する。
iii). 任意の $a$ に対して連続な有界関数 $\eta:(a,a+\pi)\to\mathbb{R}^+$ が存在して $x,y_1,y_2\in(a,a+\pi),y_1 < y_2$ のとき

\begin{align}
-\eta(y_1)\{1+\sin(x-y_1)\kappa(x,y_1)\}\sin(x-y_2)+\eta(y_2)\{1+\sin(x-y_2)\kappa(x,y_2)\}\sin(x-y_1)\ge 0
\end{align}

iv). $\kappa$ は半周期性 $\kappa(x,y)=-\kappa(x+\pi,y)=-\kappa(x,y+\pi)$ をもつ。


このような $\kappa$ に対して

\begin{align}
K(x,y)=\dfrac{1}{\sin(x-y)}+\kappa(x,y)
\end{align}

を積分核とする積分変換

\begin{align}
\mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_{y-\pi/2}^{y+\pi/2}K(x,y)f(x)\,dx
\end{align}

を円周上の拡張ヒルベルト変換とします。許容関数は半周期 $\pi$ の微分連続関数としておくと良いでしょう。このように関数を制限しておけば、この拡張ヒルベルト変換は単射になります。今回はここまで。これで一旦ヒルベルト変換の話は終了します。次回はヒルベルト変換と積分幾何学の関連性について説明します。(written by J.Nishigata)


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研究43- 円周上のヒルベルト変換の拡張その１