符号をスイッチさせる関数が零点ではないことは、既に使ってきた方法で証明できます。問題なのは半定値関数を入力したときです。

拡張ヒルベルト変換の自明ではない零点 $f_1,f_2$ が存在すると仮定してみましょう。$f_1,f_2$ は半定値関数でなければならないので

\begin{align} \int_{\mathbb{R}}f_i\,dx\neq 0 \end{align}

が成立します。或る $\lambda$ が存在して

\begin{align} \int_{\mathbb{R}}f_1\,dx+\lambda\int_{\mathbb{R}}f_2\,dx=0 \end{align}

とすることができます。$f=f_1+\lambda f_2$ は拡張ヒルベルト変換の零点であり、かつ

\begin{align} \int_{\mathbb{R}}f\,dx=0 \end{align}

を満たすので、自明な零点 $f=0$ でなければなりません。$f_1+\lambda f_2=0$ すなわち $f_1,f_2$ が線型従属であることが得られました。拡張ヒルベルト変換の零点全体の次元は高々 $1$ です。今回はここまで。次回は零点全体(カーネル空間と呼びましょう)分の不定性を無くすために追加する測度の話をします。(written by J.Nishigata)

研究38- 直線全体で定義された、拡張ヒルベルト変換の単射性