前回やり残した $\alpha(\infty)=0$ の場合をやります。$w^i\in W,w^i+\alpha(w^i)\in W,(w^i,w^i+\alpha(w^i))\cap W=\emptyset$ を満足する発散する単調増加列 $\{w^i\}$ をとりましょう。

$|\partial f| < M$ ですので $x > w^i$ で関数 $f$ は

\begin{align} |f| < \dfrac{1}{2}M\alpha(w^i) \end{align}

と評価できます。前回と同じようにコーシーの不等式を使いましょう。

\begin{align} \int_{w^i+\alpha(w^i)}^{\infty}|K(x,w^i)f(x)|\,dx&\le\bigg\{\int_{w^i+\alpha(w^i)}^{\infty}K^2\,dx\bigg\}^{1/2}\bigg\{\int_{w^i+\alpha(w^i)}^{\infty}f^2\,dx\bigg\}^{1/2}\\ &\le(1+c_0)\bigg\{\int_{w^i+\alpha(w^i)}^{\infty}\dfrac{1}{(x-w^i)^2}\,dx\bigg\}^{1/2}\bigg\{\int_{w^i+\alpha(w^i)}^{\infty}\dfrac{1}{2}M\alpha(w^i)|f|\,dx\bigg\}^{1/2}\\ &=(1+c_0)\sqrt{M/2}\bigg\{\int_{w^i+\alpha(w^i)}^{\infty}|f|\,dx\bigg\}^{1/2} \end{align}

$f$ は絶対可積分なので右辺は $i\to\infty$ の極限で零に収束します。ここからは前回と同じロジックでやれば良く、結果的に符号をスイッチさせる関数 $f$ は拡張ヒルベルト変換の零点にはならないことが導かれます。

前回と今回の話をまとめると、単射性が得られますね。今回はここまで。次回は $\mathbb{R}$ 全体で定義されたヒルベルト変換の話をします。(written by J.Nishigata)

研究37- 半直線上で定義された、拡張ヒルベルト変換の単射性その２