$a > -\infty,b=\infty$ の場合の拡張ヒルベルト変換の話をします。今回の $f$ には、$\partial f$ が有界である他に絶対可積分かつ自乗可積分であることも要求しておきます。なお、今回も $\kappa$ は有界であると仮定します。有界なもの $\eta,|\partial f|,|\kappa|$ はすべて上から $M$ で評価しておくことにします。

半定値関数が拡張ヒルベルト変換の零点にならないことは前回と同じ方法で確認できます。符号をスイッチさせる関数に限定して話を進めましょう。

$W$ が有界の場合は既に証明した通りですので、有界ではない場合のみ考えます。$x$ 以上の隣り合う $W$ の元 $w,\tilde{w}$ に対して $|w-\tilde{w}|$ の上限値を $\alpha(x)$ とおきます。$\alpha$ は単調減少関数になりますが、以下の $2$ パターンに分類することができます。

i). 或る $\delta_0 > 0$ が存在して $\alpha > \delta_0$
ii). $\alpha(\infty)=0$

i) のパターンを考えます。$w^i\in W,x^i-w^i > \delta_0,(w^i,x^i)\cap W=\emptyset$ なる単調増加列 $\{w^i\},\{x^i\}$ をとってきます。コーシーの不等式を使うと

\begin{align} \int_{x^i}^{\infty}|K(x,w^i)f(x)|\,dx&\le\bigg\{\int_{x^i}^{\infty}K^2\,dx\bigg\}^{1/2}\bigg\{\int_{x^i}^{\infty}f^2\,dx\bigg\}^{1/2}\\ &\le(1+c_0)\bigg\{\int_{x^i}^{\infty}\dfrac{1}{(x-w^i)^2}\,dx\bigg\}^{1/2}\bigg\{\int_{x^i}^{\infty}f^2\,dx\bigg\}^{1/2}\\ &\le\dfrac{1+c_0}{\sqrt{\delta_0}}\bigg\{\int_{x^i}^{\infty}f^2\,dx\bigg\}^{1/2} \end{align}

という評価が成り立ちます。ここで $f$ は自乗可積分ですので、右辺は $i\to\infty$ の極限で零に収束します。任意の $\tilde{\varepsilon} > 0$ に対して $i_0$ が存在して任意の $i\ge i_0$ に対して

\begin{align} \int_{x^i}^{\infty}|K(x,w^i)f(x)|\,dx < \tilde{\varepsilon} \end{align}

が成立するわけですね。$(a,x^{i_0})$ の区間で $\{w_i\}$ をとってきて $|\sum (-1)^i\eta(w_i)\mathscr{H}f(w_i)|$ を計算しましょう。

\begin{align} \bigg|\sum_{i=1}^n (-1)^i\eta(w_i)\mathscr{H}f(w_i)\bigg|\ge\bigg|\int_a^{x^{i_0}}\zeta f\,dx\bigg|-\int_{x^{i_0}}^{\infty}|\zeta f|\,dx \end{align}

第 $2$ 項は $|\zeta|$ が上から

\begin{align} |\zeta|\le\eta(w^{i_0})K(x,w^{i_0})\le MK(x,w^{i_0}) \end{align}

と評価できるので

\begin{align} \bigg|\sum_{i=1}^n (-1)^i\eta(w_i)\mathscr{H}f(w_i)\bigg|&\ge\bigg|\int_a^{x^{i_0}}\zeta f\,dx\bigg|-M\int_{x^{i_0}}^{\infty}|K(x,w^{i_0}) f(x)|\,dx\\ &\ge\bigg|\int_a^{x^{i_0}}\zeta f\,dx\bigg|-M\tilde{\varepsilon} \end{align}

となります。$\varepsilon,\tilde{\varepsilon}$ を充分小さくとると、右辺は正の値をとります。したがって $f$ は拡張ヒルベルト変換の零点ではないことが分かります。今回はここまで。次回は ii) の場合を考察します。(written by J.Nishigata)

研究36- 半直線上で定義された、拡張ヒルベルト変換の単射性その１