始める前に今回は $\partial f,\kappa$ を有界としておきます。$f$ の台の下限値を $x_0$ おきます。

\begin{align} |\partial f| < M,\ |\kappa| < M,\ M > \dfrac{2}{b-x_0} \end{align}

となるような $M$ をとっておきましょう。$0 < \delta < 1/M$ なる任意の $\delta$ に対して

\begin{align} |\mathscr{H}f(x_0+\delta)|&=\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^bK(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|\\ &=\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}K(x,x_0+\delta)f(x)\,dx+\int_{x_0+2\delta}^bK(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|\\ &\ge-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}K(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|+\bigg|\int_{x_0+2\delta}^bK(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|\\ &=-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}K(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|+\int_{x_0+2\delta}^b|K(x,x_0+\delta)f(x)|\,dx\\ &\ge-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}K(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|+\int_{x_0+2\delta}^{x_0+\delta+1/M}|K(x,x_0+\delta)f(x)|\,dx \end{align}

第 $1$ 項は

\begin{align} &-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}K(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|\\ &\ge-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}\dfrac{f(x)}{x-x_0-\delta}\,dx\bigg|-\bigg|\int_{x_0}^{x_0+2\delta}\kappa(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|\\ &\ge-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}\dfrac{f(x)}{x-x_0-\delta}\,dx\bigg|-M\int_{x_0}^{x_0+2\delta}|f|\,dx \end{align}

一方、第 $2$ 項は

\begin{align} K(x,x_0+\delta)\ge\dfrac{1}{x-x_0-\delta}-M\ge 0 \end{align}

に注意して

\begin{align} \int_{x_0+2\delta}^{x_0+\delta+1/M}|K(x,x_0+\delta)f(x)|\,dx\ge \int_{x_0+2\delta}^{x_0+\delta+1/M}\bigg\{\dfrac{1}{x-x_0-\delta}-M\bigg\}|f(x)|\,dx \end{align}

したがって

\begin{align} |\mathscr{H}f(x_0+\delta)|\ge-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}\dfrac{f(x)}{x-x_0-\delta}\,dx\bigg|-M\int_{x_0}^{x_0+2\delta}|f|\,dx+\int_{x_0+2\delta}^{x_0+\delta+1/M}\bigg\{\dfrac{1}{x-x_0-\delta}-M\bigg\}|f(x)|\,dx \end{align}

この第 $1$ 項を $f(x)=f(x_0+\delta)+\partial f(c)(x-x_0-\delta)$ とおいて計算しましょう。

\begin{align} -\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}\dfrac{f(x)}{x-x_0-\delta}\,dx\bigg|=-2\delta|\partial f(c)|\ge-2M\delta \end{align}

第 $1,2$ 項は $\delta$ を小さくとれば幾らでも零に近くすることができます。一方で第 $3$ 項は $\delta\to 0$ で正の値へ収束するので、結局充分小さい $\delta$ に対して $|\mathscr{H}f(x_0+\delta)| > 0$ が成立することが分かります。

半定値関数 $f$ は拡張ヒルベルト変換の零点ではないことが分かりました。前回の結果と合わせて考えると、拡張ヒルベルト変換の単射性が得られます。今回はここまで。次回は片側に開いた区間で定義されるヒルベルト変換の話をします。(written by J.Nishigata)

研究35- 半定値関数のヒルベルト像