符号をスイッチさせる零点が有限個の場合はやりましたので、今回は無限個の場合をやります。

$\{w_i\}$ は有限列ですので $\{w_1,\dots,w_n\}$ をおきます。便宜上 $w_0=a,w_{n+1}=b$ を定義しておくと便利です。

\begin{align} \bigg|\sum_{i=1}^n(-1)^i\eta(w_i)\mathscr{H}f(w_i)\bigg|&=\bigg|\int_a^b\zeta f\,dx\bigg|\\ &\ge\bigg|\sum_{w_i\in W_1}\int_{w_i}^{w_{i+1}}\zeta f\,dx\bigg|-\bigg|\sum_{w_i\in W_2}\int_{w_i}^{w_{i+1}}\zeta f\,dx\bigg|\\ &\ge \bigg|\sum_{w_i\in W_1}\int_{w_i}^{w_{i+1}}\zeta f\,dx\bigg|-\sum_{w_i\in W_2}\int_{w_i}^{w_{i+1}}|\zeta f|\,dx \end{align}

第 $2$ 項が $\varepsilon\to 0$ の極限で零に収束すれば

\begin{align} \lim_{\varepsilon\to 0}\bigg|\sum_{i=1}^n(-1)^i\eta(w_i)\mathscr{H}f(w_i)\bigg|>0 \end{align}

が主張できます。$|\zeta f|$ を上から評価したいので、まず $|f|$ の評価からやっていきましょう。

$(w_i,w_{i+1}),w_i\in W_2$ では $|\partial f|<\varepsilon$ が成立します。したがって $|f|$ は

\begin{align} |f|\le \begin{cases} \varepsilon|x-w_1|\ \text{for }x\in(w_0,w_1)\ \text{if }w_0\in W_2,\\ \varepsilon\min\{|x-w_i|,\{|x-w_{i+1}|\}\}\ \text{for }x\in(w_i,w_{i+1}),i\neq 0,n\ \text{if }w_i\in W_2,\\ \varepsilon|x-w_n|\ \text{for }x\in(w_n,w_{n+1})\ \text{if }w_n\in W_2 \end{cases} \end{align}

と評価できます。一方 $|\zeta|$ の評価は、以前やった通り

\begin{align} |\zeta|\le \begin{cases} \dfrac{(1+c_0)\eta(w_1)}{|x-w_1|}\ \text{for }x\in(w_0,w_1),\\ \dfrac{(1+c_0)\eta(w_i)}{|x-w_i|}+\dfrac{(1+c_0)\eta(w_{i+1})}{|x-w_{i+1}|}\ \text{for }x\in(w_i,w_{i+1}),i\neq 0,n,\\ \dfrac{(1+c_0)\eta(w_n)}{|x-w_n|}\ \text{for }x\in(w_n,w_{n+1}) \end{cases} \end{align}

以上を用いれば $|\zeta f|$ を上から評価して積分することができます。$w_0\in W_2$ ならば

\begin{align} \int_{w_0}^{w_1}|\zeta f|\,dx\le\varepsilon(1+c_0)\eta(w_1)\int _{w_0}^{w_1}dx=\varepsilon(1+c_0)\eta(w_1)(w_1-w_0) \end{align}

$w_i\in W_2,i\neq 0,n$ ならば

\begin{align} \int_{w_i}^{w_{i+1}}|\zeta f|\,dx&=\int_{w_i}^{(w_i+w_{i+1})/2}|\zeta f|\,dx+\int_{(w_i+w_{i+1})/2}^{w_{i+1}}|\zeta f|\,dx\\ &\le\varepsilon(1+c_0)\int_{w_i}^{(w_i+w_{i+1})/2}\bigg\{\eta(w_i)-\dfrac{\eta(w_{i+1})(x-w_i)}{x-w_{i+1}}\bigg\}\,dx\\ &\quad +\varepsilon(1+c_0)\int_{(w_i+w_{i+1})/2}^{w_{i+1}}\bigg\{-\dfrac{\eta(w_i)(x-w_{i+1})}{x-w_i}+\eta(w_{i+1})\bigg\}\,dx\\ &=\varepsilon(1+c_0)\int_{w_i}^{(w_i+w_{i+1})/2}\bigg\{\eta(w_{i+1})-\dfrac{\eta(w_{i+1})(x-w_i)}{x-w_{i+1}}\bigg\}\,dx\\ &\quad +\varepsilon(1+c_0)\int_{(w_i+w_{i+1})/2}^{w_{i+1}}\bigg\{-\dfrac{\eta(w_i)(x-w_{i+1})}{x-w_i}+\eta(w_i)\bigg\}\,dx\\ &=\varepsilon(1+c_0)\eta(w_{i+1})(w_{i+1}-w_i)\int_{w_i}^{(w_i+w_{i+1})/2}-\dfrac{1}{x-w_{i+1}}\,dx\\ &\quad +\varepsilon(1+c_0)\eta(w_i)(w_{i+1}-w_i)\int_{(w_i+w_{i+1})/2}^{w_{i+1}}\dfrac{1}{x-w_i}\,dx\\ &=\varepsilon(1+c_0)\{\eta(w_i)+\eta(w_{i+1})\}(w_{i+1}-w_i)\log 2 \end{align}

$w_n\in W_2$ ならば

\begin{align} \int_{w_n}^{w_{n+1}}|\zeta f|\,dx\le\varepsilon(1+c_0)\eta(w_n)\int _{w_n}^{w_{n+1}}dx=\varepsilon(1+c_0)\eta(w_n)(w_{n+1}-w_n) \end{align}

$\eta$ は有界なので $\eta < M$ としておくと

\begin{align} \sum_{w_i\in W_2}\int_{w_i}^{w_{i+1}}|\zeta f|\,dx < 2M\varepsilon(1+c_0)(b-a) \end{align}

確かに $\varepsilon\to 0$ で零に収束することが分かりました。したがって

\begin{align} \lim_{\varepsilon\to 0}\bigg|\sum_{i=1}^n(-1)^i\eta(w_i)\mathscr{H}f(w_i)\bigg|>0 \end{align}

すなわち $f$ は拡張ヒルベルト変換の零点にはなりません。今までの証明に使ってきた $f$ はどんな関数だったかというと、符号をスイッチさせる関数でしたね。符号をスイッチさせる関数は拡張ヒルベルト変換の零点にはならないことが分かりました。

今回はここまで。次回は、半定値関数 $f$ を入力したらどうなるのか調べていきます。(written by J.Nishigata)

研究34- 有界区間で定義された、拡張ヒルベルト変換の単射性その２