まず $V$ を互いに素である連続する区間の和に分解します。分解されたそれぞれの区間で NP 型の零点を含むものを集めて $\{V_i\}$ と書いておきましょう。

$\{V_i\}$ は集積点をもたないことは分かるでしょうか。もしも集積点が存在すると仮定すると、$V_i$ は必ず零点を含むことにより集積点での $f$ の微分係数は零になります。一方、集積点は $\partial V_i$ の集積点でもあるため $\partial V_i$ の条件である $|\partial f|=\varepsilon$ も満たされていなければなりません。以上の矛盾により $\{V_i\}$ は集積点をもちません。

このことにより $\{V_i\}$ は昇順に並び変えることができます。これを改めて $\{V_i\}$ と定義しておきましょう。

何れの $V_i$ にも含まれない $W$ の元と、$\{\inf (W\cap V_i),\sup (W\cap V_i)\}$ を昇順に並べて $\{w_i\}$ とおきます。すると、或る関数 $A(i)\in\mathbb{Z}$ が存在して $\bigcup_{(w_i,w_{i+1})\cap W=\emptyset}(w_i,w_{i+1})$ に制限した関数

\begin{align} (-1)^{A(i)}f(x) \end{align}

は半定値になります。$\{w_i\}$ に $\{W\cap V_i\}$ の元を適当に追加して、改めて昇順に $\{w_i\}$ と定義すると $A(i)=i$ とすることができます。

この数列 $\{w_i\}$ に対して $\zeta$ を

\begin{align} \zeta(x)=\sum_i(-1)^i\eta(w_i)K(x,w_i) \end{align}

と定義しましょう。$\zeta f$ は $\bigcup_{(w_i,w_{i+1})\cap W=\emptyset}(w_i,w_{i+1})$ で半定値となってくれます。

\begin{align} W_1=\{w_i:(w_i,w_{i+1})\cap W=\emptyset\},\ W_2=\{w_i:(w_i,w_{i+1})\cap W\neq\emptyset\} \end{align}

のように $\{w_i\}$ を分けておきます。今回はここまで。次回は再度拡張ヒルベルト変換の単射性の問題に挑戦してみたいと思います。(written by J.Nishigata)

研究33- 積分核の級数を定義するための準備