前回 NP 型の零点と、その全体 $W_{\mathrm{NP}}$ を定義しました。今回は $w\in W_{\mathrm{NP}}$ 近傍での $f$ の評価を考えます。

まず、$w$ に狭義に単調収束する零点の列 $\{w_i\}$ をとります。

\begin{align} \dfrac{f(w_i)-f(w)}{w_i-w}=0 \end{align}

左辺の $i\to\infty$ の極限は $f$ の微分連続性より $\partial f(w)$ です。$w$ では $f(w)=0$ だけでなく $\partial f(w)=0$ も成立する。これが NP 型零点の際立った特徴です。

任意の $\varepsilon>0$ に対して

\begin{align} V=\{x:|\partial f(x)|<\varepsilon\} \end{align}

と評価された集合を作ると $W_{\mathrm{NP}}$ は $V$ の中に入ってしまいます。以上で $|\partial f|$ を見ることにより $W$ から $W_{\mathrm{NP}}$ を分離することができるようになりました。今回はここまで。次回は $\zeta$ を定義するための点列を定義してみましょう。(written by J.Nishigata)

研究32- NP 型の零点近傍での関数の評価