興味の対象は、微分連続関数 $f$ の符号をスイッチさせる零点です。この「符号をスイッチさせる零点」の定義から考えていきましょう。

零点を左右の近傍の様子から分類します。

i). 恒等的に零
ii). 負、若しくは零と負の間の振動(N 型と呼ぶ)
iii). 正、若しくは零と正の間の振動(P 型と呼ぶ)
iv). 正負の振動(NP 型と呼ぶ)

どの象限に入るのかという意味での分類ですね。左右それぞれ $4$ 通りに分類されるので、トータルのパターン数は $16$ 通りですね。

符号の変化を考えているとき、そもそも符号が確定しない i) は扱い辛いでしょう。区間的に零となる場合は、その区間の境界近傍の様子を見なければなりません。

零点 $x$ に対して、$x\in [x_1,x_2]\subseteq f^{-1}(0)$ となるような $x_1$ の下限値と $x_2$ の上限値をそれぞれ $\mathrm{lpt}(x),\mathrm{rpt}(x)$ と書くことにします。零点を $\mathrm{lpt},\mathrm{rpt}$ でフィルタリングしてから扱うことで扱い辛さが解消されます。

すなわち、$\mathrm{lpt}(x)$ の左近傍は N 型、P 型、NP 型の何れかになり、$\mathrm{rpt}(x)$ の右近傍も同様に N 型、P 型、NP 型の何れかになります。

符号をスイッチさせるという現象は

i). $\mathrm{lpt}(x)$ の左近傍が N 型かつ $\mathrm{rpt}(x)$ の右近傍が P 型の場合
ii). $\mathrm{lpt}(x)$ の左近傍が P 型かつ $\mathrm{rpt}(x)$ の右近傍が N 型の場合
iii). $\mathrm{lpt}(x)$ の左近傍と$\mathrm{rpt}(x)$ の右近傍の少なくとも一方が NP 型の場合

このようなときに生じます。符号をスイッチさせる $\mathrm{lpt}(x)$ 全体を $W$ 、iii) のパターンで符号をスイッチさせる NP 型の端点全体を $W_{\mathrm{NP}}$ とおきます。今回はここまで。次回は $W_{\mathrm{NP}}$ の特徴を考えます。(written by J.Nishigata)

研究31- 零点の分類