$a>-\infty,b<\infty$ の場合から考えていきましょう。さて、関数変換が与えられたときに真っ先にやるべきことは、単射性の確認です。この点に注意して拡張ヒルベルト変換の性質を調べていきましょう。

区間 $(a,b)$ に符号をスイッチさせる零点を有限個もつ関数 $f$ に対して、その零点を昇順に $y_1,\dots,y_n$ とおき

\begin{align} \zeta(x)=\sum_{i=1}^n(-1)^i\eta(y_i)K(x,y_i) \end{align}

とします。すると $\zeta$ は $f$ と全く同じタイミングで符号をスイッチさせることが分かります。したがって $\zeta f$ は定符号値であり

\begin{align} \sum_{i=1}^n(-1)^i\eta(y_i)\mathscr{H}f(y_i)=\int_a^b\zeta f\,dx\neq 0 \end{align}

が成立します。$f$ は $\mathscr{H}$ の零点にはなりませんね。零点が有限個の場合は上手くいきました。では無限個の場合はどうでしょうか。今、区間は有界ですので、符号をスイッチさせる零点が無限個存在するということは、集積点が存在することになります。

次回は、このような場合も扱えるようにしましょう。(written by J.Nishigata)

研究30- 有界区間で定義された、拡張ヒルベルト変換の単射性その１