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  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回定義した $K(x,y)$ の級数を考えます。$a < y_1 < \cdots < y_n < b$ に対して

\begin{align}
\zeta(x)=\sum_{i=1}^n(-1)^i\eta(y_i)K(x,y_i)
\end{align}

この級数から、例えば $i$ 番目と $j$ 番目だけを取り出してペアを作ると $\kappa$ の定義($3$ つ目の性質)が使えます。式を簡単にするために $[i]=\eta(y_i)K(x,y_i)$ と書くことにしましょう。


$n$ が偶数のとき

\begin{align}
\zeta=(-[1]+[2])+\dots+(-[n-1]+[n])
\end{align}

という具合に分けてみます。$a < x < y_1$ の区間ではすべてのペアは零以上ですので

\begin{align}
\zeta\ge (-[1]+[2])\ge 0
\end{align}

が成り立ちます。$i$ が奇数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間では $(-[i]+[i+1])$ を除くすべてのペアは零以上で

\begin{align}
\zeta\ge (-[i]+[i+1])
\end{align}

$i$ が偶数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間ではすべてのペアは零以上で

\begin{align}
\zeta\ge (-[i-1]+[i])\ge 0
\end{align}

$y_n < x < b$ の区間ではすべてのペアは零以上で

\begin{align}
\zeta\ge (-[n-1]+[n])\ge 0
\end{align}

下からの評価ができました。次はペアのとり方を変えて

\begin{align}
\zeta=(-[1]+[n])+\big\{([2]-[3])+\dots+([n-2]-[n-1])\big\}
\end{align}

として、区間ごとに評価してみましょう。$a < x < y_1$ の区間では $(-[1]+[n])$ を除くすべてのペアは零以下で

\begin{align}
\zeta\le (-[1]+[n])
\end{align}

$y_1 < x < y_2$ の区間ではすべてのペアは零以下で

\begin{align}
\zeta\le (-[1]+[n])\le 0
\end{align}

$i$ が偶数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間では $([i]-[i+1])$ を除くすべてのペアは零以下で

\begin{align}
\zeta\le ([i]-[i+1])
\end{align}

$i$ が $1$ より大きい奇数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間ではすべてのペアは零以下で

\begin{align}
\zeta\le ([i-1]-[i])\le 0
\end{align}

$y_n < x < b$ の区間では $(-[1]+[n])$ を除くすべてのペアは零以下で

\begin{align}
\zeta\le (-[1]+[n])
\end{align}

上からの評価ができました。以上で $n$ が偶数の場合の級数 $\zeta$ の評価が完成しました。同様にして $n$ が奇数の場合も考えてみましょう。奇数の場合は $2$ 組ペアで分けていったときに必ず $1$ 項余りができます。この余りに関しては $\kappa$ の定義の $2$ つ目の条件 $-1\le(x-y)\kappa(x,y)$ を

\begin{align}
K(x,y)
\begin{cases}
\le 0\ \text{for }x < y,\\
\ge 0\ \text{for }x > y
\end{cases}
\end{align}

という形で用います。

\begin{align}
\zeta=\big\{(-[1]+[2])+\dots+(-[n-2]+[n-1])\big\}-[n]
\end{align}

$a < x < y_1$ の区間ではすべてのペアと $-[n]$ は零以上で

\begin{align}
\zeta\ge (-[1]+[2])\ge 0
\end{align}

$i$ が奇数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間では $(-[i]+[i+1])$ を除くすべてのペアと $-[n]$ は零以上で

\begin{align}
\zeta\ge (-[i]+[i+1])
\end{align}

$i$ が偶数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間ではすべてのペアと $-[n]$ は零以上で

\begin{align}
\zeta\ge (-[i-1]+[i])\ge 0
\end{align}

$y_n < x < b$ の区間ではすべてのペアは零以上で

\begin{align}
\zeta\ge -[n]
\end{align}

表現を変えて

\begin{align}
\zeta=-[1]+\big\{([2]-[3])+\dots+([n-1]-[n])\big\}
\end{align}

とします。$a < x < y_1$ の区間ではすべてのペアは零以下で

\begin{align}
\zeta\le -[1]
\end{align}

$i$ が奇数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間ではすべてのペアと $-[1]$ は零以下で

\begin{align}
\zeta\le [i+1]-[i+2]\le 0
\end{align}

$i$ が偶数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間では $[i]-[i+1]$ を除くすべてのペアと $-[1]$ は零以下で

\begin{align}
\zeta\le [i]-[i+1]
\end{align}

$y_n < x < b$ の区間ではすべてのペアと $-[1]$ は零以下で

\begin{align}
\zeta\le [n-1]-[n]\le 0
\end{align}

以上で $n$ が奇数の場合も $\zeta$ の評価ができました。これで $\zeta$ の符号(零以上か零以下か)がスイッチする様子も分かりますね。今回はここまで。次回は $\zeta$ の絶対値を評価します。(written by J.Nishigata)


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研究28- 積分核の級数の性質

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  },
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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






$a>-\infty,b<\infty$ の場合から考えていきましょう。さて、関数変換が与えられたときに真っ先にやるべきことは、単射性の確認です。この点に注意して拡張ヒルベルト変換の性質を調べていきましょう。


区間 $(a,b)$ に符号をスイッチさせる零点を有限個もつ関数 $f$ に対して、その零点を昇順に $y_1,\dots,y_n$ とおき

\begin{align}
\zeta(x)=\sum_{i=1}^n(-1)^i\eta(y_i)K(x,y_i)
\end{align}

とします。すると $\zeta$ は $f$ と全く同じタイミングで符号をスイッチさせることが分かります。したがって $\zeta f$ は定符号値であり

\begin{align}
\sum_{i=1}^n(-1)^i\eta(y_i)\mathscr{H}f(y_i)=\int_a^b\zeta f\,dx\neq 0
\end{align}

が成立します。$f$ は $\mathscr{H}$ の零点にはなりませんね。零点が有限個の場合は上手くいきました。では無限個の場合はどうでしょうか。今、区間は有界ですので、符号をスイッチさせる零点が無限個存在するということは、集積点が存在することになります。


次回は、このような場合も扱えるようにしましょう。(written by J.Nishigata)


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研究29- 積分核の級数の絶対値評価