MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回、次のような関数を定義しました。

\begin{align}
&A(t)=\sqrt{t^2+1+\sqrt{4t^2-1}},\\
&B(t)=\sqrt{t^2+1+\sqrt{4t^2-4}}
\end{align}

今回はちゃんとやろうとすると計算が非常に多いので、概略のみを記載することにします。まず、$A,B$ が可換であるか否かを調べます。

\begin{align}
BA(t)&=\sqrt{A(t)^2+1+\sqrt{4A(t)^2-4}}\\
&=\sqrt{t^2+2+\sqrt{4t^2-1}+2\sqrt{t^2+\sqrt{4t^2-1}}},\\
AB(t)&=\sqrt{B(t)^2+1+\sqrt{4B(t)^2-1}}\\
&=\sqrt{t^2+2+\sqrt{4t^2-4}+\sqrt{4t^2+3+4\sqrt{4t^2-4}}}
\end{align}

これらを比較して $BA(t)>AB(t)$、すなわち $A,B$ は非可換ということが分かります。この非可換な関数 $A,B$ を用いて次のような手順で関数列 $\{A_i,B_i,C_i,D_i\}$ を作りましょう。


まず、$\{A_i,B_i\}$ の初期値は $A_0=A,B_0=B$ とします。$A_i,B_i$ は非可換かつ $A_i(t)>t,B_i(t)>t$と仮定しましょう。$A_iB_i\neq B_iA_i$ なので $A_iB_i,B_iA_i$ の内で大きい方を $C_i$ 小さい方を $D_i$ とおきます。これを用いて

\begin{align}
A_{i+1}=D_i^{-1}C_i,\ B_{i+1}=C_iD_i^{-1}
\end{align}

とおきます。すると、帰納的に


i). $A_i(t)>t,B_i(t)>t$ 。
ii). $A_i,B_i$ は非可換。


がすべての $i$ で成立し、$\{A_i,B_i\}$ は無限列となります。さらにこの関数列は

\begin{align}
\max\{A_i(t),B_i(t)\}\to 0\ \text{as }i\to\infty
\end{align}

という性質を満たします。以上で恒等写像に収束する自明ではない関数列 $E_i$ を $A,B$ の合成で構築することができました。

\begin{align}
\dfrac{h(E_i(t))-h(t)}{E_i(t)-t}\to\partial h(t)\ \text{as }i\to\infty
\end{align}

これで $\partial h$ が計算できるようになります。今回はここまで。次回もこの続きをやります。(written by J.Nishigata)


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研究6- 大きい関数クラス上でのポンペイユ変換の反転公式その２

MathJax = {
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  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回は $h$ を計算しました。

\begin{align}
h=h_0+\pi\Delta f
\end{align}

とおきましょう。$h=\partial_r\psi/r$ を代入すると

\begin{align}
\partial_r\psi(r,y)=rh_0(r,y)+\pi r\Delta f(y)
\end{align}

これを積分して

\begin{align}
\psi(r,y)&=\psi(0,y)+\int_0^r\partial_r\psi\,dr\\
&=2\pi f(y)+\int_0^rrh_0(r,y)\,dr+\dfrac{\pi}{2}r^2\Delta f(y)
\end{align}

ここで一旦はじめの式に戻って考えてみましょう。

\begin{align}
P(y,\theta)&=\iint_{\{se(\theta)+te(\theta+\pi/2):-1/2< s,t< 1/2\}}f(x+y)\,dS\\
&=\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}f(se(\theta)+te(\theta+\pi/2)+y)\,dS
\end{align}

これを $\theta$ に関して積分してみます。

\begin{align}
\int_0^{2\pi}P(re(\theta+\varphi)+y,\theta)\,d\theta&=\int_0^{2\pi}\bigg\{\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}f(se(\theta)+te(\theta+\pi/2)+y+re(\theta+\varphi))\,dS\bigg\}\,d\theta\\
&=\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}\psi(\|se_1+te_2+re(\varphi)\|,y)\,dS
\end{align}

ここに先程求めた $\psi$ を代入して

\begin{align}
\int_0^{2\pi}P(re(\theta+\varphi)+y,\theta)\,d\theta&=\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}\bigg\{\int_0^{\|se_1+te_2+re(\varphi)\|}rh_0(r,y)\,dr+\dfrac{\pi}{2}\|se_1+te_2+re(\varphi)\|^2\Delta f(y)\bigg\}\,dS+2\pi f(y)\\
&=\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}\bigg\{\int_0^{\|se_1+te_2+re(\varphi)\|}rh_0(r,y)\,dr\bigg\}\,dS\\
&\quad +\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}\dfrac{\pi}{2}\|se_1+te_2+re(\varphi)\|^2\Delta f(y)\,dS+2\pi f(y)\\
&=\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}\bigg\{\int_0^{\|se_1+te_2+re(\varphi)\|}rh_0(r,y)\,dr\bigg\}\,dS\\
&\quad +\dfrac{\pi}{2}\bigg(\dfrac{1}{6}+r^2\bigg)\Delta f(y)+2\pi f(y)
\end{align}

$2$ 通りの適当な $r$ を代入して連立させれば、不定性のあった項 $\Delta f(y),f(y)$ が求まります。以上で反転公式が完成しました。今回はここまで。ポンペイユ逆問題から超解像アルゴリズムへと話が逸れてしまいましたが、次回はデコンボリューションの話題に戻りましょう。(written by J.Nishigata)


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研究7- 大きい関数クラス上でのポンペイユ変換の反転公式その３