前回 $\partial h$ を計算しました。しかし、$t\ge 0$ 全体で $\partial h(t)$ が計算できることは保証されていません。今回は、この計算できる定義域を広げようと思います。

まず、$h(A(t))-h(t)$ に注意しましょう。$t$ に関する微分を考えれば、$\partial h(A(t))$ が求まっていれば $\partial h(t)$ も計算できますね。帰納的に $t\ge 1/2$ の定義域で $\partial h(t)$ は計算できます。

\begin{align} h(t)-h(1/2)=\int_{1/2}^t\partial h\,dt \end{align}

という差も $t\ge 1/2$ の領域で計算できます。

\begin{align} &\int_0^{2\pi}\partial^2_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+re(\theta)+e(\theta+\pi/2)/2,\theta)\,d\theta\\ &=\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2,e(\theta)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2\|,y)\\ &\quad +\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2),e(\theta)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|,y)\\ &\quad -\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2,e(\theta)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2\|,y)\\ &\quad -\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2),e(\theta)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|,y)\\ &=\partial_r\psi(r-1/2,y)+\dfrac{r+1/2}{\|r+1/2,1\|}\partial_r\psi(\|r+1/2,1\|,y)-\partial_r\psi(r+1/2,y)-\dfrac{r-1/2}{\|r-1/2,1\|}\partial_r\psi(\|r-1/2,1\|,y)\\ &=(r-1/2)h(r-1/2)+(r+1/2)h(\|r+1/2,1\|)-(r+1/2)h(r+1/2)-(r-1/2)h(\|r-1/2,1\|) \end{align}

この式で $r\ge 1/2$ ならば $\|r+1/2,1\|,r+1/2,\|r-1/2,1\|$ これらすべては $1/2$ 以上になります。

\begin{align} &\int_0^{2\pi}\partial^2_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+re(\theta)+e(\theta+\pi/2)/2,\theta)\,d\theta\\ &=(r-1/2)\{h(r-1/2)-h(1/2)\}+(r+1/2)\{h(\|r+1/2,1\|)-h(1/2)\}\\ &\quad -(r+1/2)\{h(r+1/2)-h(1/2)\}-(r-1/2)\{h(\|r-1/2,1\|)-h(1/2)\} \end{align}

と変形してみましょう。$h(r-1/2)-h(1/2),r\ge 1/2$ も計算できます。したがって $t\ge 0$ 全体で $\partial h$ が求まるわけです。

\begin{align} h(t)&=\int_{\varepsilon}^t\partial h\,dt+h(\varepsilon)\\ &=\int_{\varepsilon}^t\partial h\,dt+\dfrac{1}{\varepsilon}\int_0^{2\pi}\partial_{e(\theta)}f(\varepsilon e(\theta)+y)\,d\theta\\ &=\int_{\varepsilon}^t\partial h\,dt+\dfrac{1}{\varepsilon}\int_0^{2\pi}\{\partial_{e(\theta)}f(y)+\partial_{e(\theta)}^2f(y)\varepsilon+o(\varepsilon)\}\,d\theta\\ &\to \int_0^t\partial h\,dt+\pi\Delta f(y)\ \text{as }\varepsilon\to 0 \end{align}

$\pi\Delta f(y)$ だけ不定性がありますが、$h$ の計算ができました。今回はここまで。次回も続きをやります。(written by J.Nishigata)

研究7- 大きい関数クラス上でのポンペイユ変換の反転公式その３