前回は $h$ を計算しました。

\begin{align} h=h_0+\pi\Delta f \end{align}

とおきましょう。$h=\partial_r\psi/r$ を代入すると

\begin{align} \partial_r\psi(r,y)=rh_0(r,y)+\pi r\Delta f(y) \end{align}

これを積分して

\begin{align} \psi(r,y)&=\psi(0,y)+\int_0^r\partial_r\psi\,dr\\ &=2\pi f(y)+\int_0^rrh_0(r,y)\,dr+\dfrac{\pi}{2}r^2\Delta f(y) \end{align}

ここで一旦はじめの式に戻って考えてみましょう。

\begin{align} P(y,\theta)&=\iint_{\{se(\theta)+te(\theta+\pi/2):-1/2< s,t< 1/2\}}f(x+y)\,dS\\ &=\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}f(se(\theta)+te(\theta+\pi/2)+y)\,dS \end{align}

これを $\theta$ に関して積分してみます。

\begin{align} \int_0^{2\pi}P(re(\theta+\varphi)+y,\theta)\,d\theta&=\int_0^{2\pi}\bigg\{\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}f(se(\theta)+te(\theta+\pi/2)+y+re(\theta+\varphi))\,dS\bigg\}\,d\theta\\ &=\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}\psi(\|se_1+te_2+re(\varphi)\|,y)\,dS \end{align}

ここに先程求めた $\psi$ を代入して

\begin{align} \int_0^{2\pi}P(re(\theta+\varphi)+y,\theta)\,d\theta&=\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}\bigg\{\int_0^{\|se_1+te_2+re(\varphi)\|}rh_0(r,y)\,dr+\dfrac{\pi}{2}\|se_1+te_2+re(\varphi)\|^2\Delta f(y)\bigg\}\,dS+2\pi f(y)\\ &=\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}\bigg\{\int_0^{\|se_1+te_2+re(\varphi)\|}rh_0(r,y)\,dr\bigg\}\,dS\\ &\quad +\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}\dfrac{\pi}{2}\|se_1+te_2+re(\varphi)\|^2\Delta f(y)\,dS+2\pi f(y)\\ &=\iint_{s,t=-1/2}^{1/2}\bigg\{\int_0^{\|se_1+te_2+re(\varphi)\|}rh_0(r,y)\,dr\bigg\}\,dS\\ &\quad +\dfrac{\pi}{2}\bigg(\dfrac{1}{6}+r^2\bigg)\Delta f(y)+2\pi f(y) \end{align}

$2$ 通りの適当な $r$ を代入して連立させれば、不定性のあった項 $\Delta f(y),f(y)$ が求まります。以上で反転公式が完成しました。今回はここまで。ポンペイユ逆問題から超解像アルゴリズムへと話が逸れてしまいましたが、次回はデコンボリューションの話題に戻りましょう。(written by J.Nishigata)

研究8- 大きい関数クラス上でのポンペイユ変換の反転公式その４