任意の凸体 $K$ の定義関数を $k$ とします。$k$ による畳込み

\begin{align} \int_{\mathbb{R}^2}k(x)f(y-x)\,dS \end{align}

で許可されている運動は並進運動です。これを剛体運動まで拡張した

\begin{align} \mathscr{P}f(g)=\int_{\mathbb{R}^2}(g^{-1}k)(x)f(x)\,dS \end{align}

はポンペイユ変換と呼ばれています。ここに $g$ は剛体運動群の元です。ポンペイユ変換に関する以下の問いを考えてみましょう。

ポンペイユの順問題: $K$ が円であるならばポンペイユ変換は単射であるだろうか。

円板定義関数のフーリエ像は $J_1(\|\cdot\|)/\|\cdot\|$ であり、原点を中心とする円周状の零点をもちます。この円に対してポンペイユ変換の自明ではない零点が得られる故にポンペイユ変換は単射にはなりません。

ポンペイユの順問題は否定的に解かれました。改めて正しい命題を書いてみると「$K$ が円であるならばポンペイユ変換は単射ではない」となるでしょう。

この真の命題から対偶をとり「ポンペイユ変換が単射であるならば $K$ は円ではない」、さらに逆の命題にしてみましょう。

ポンペイユの逆問題: $K$ が円ではないならばポンペイユ変換は単射であるだろうか。

この問題は約 $100$ 年間ものあいだ未解決のまま残る、非常に有名な問題です。ただし、未解決とはいっても完全に手付かずの未解決というわけではありません。特殊な $K$ や制限された $f$ のクラスに対しては肯定的な結果が得られています。

今回はここまで。次回は特殊な場合として、$K$ が正方形の場合を考えてみましょう。(written by J.Nishigata)

研究2- ポンペイユの逆問題