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    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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今まで扱ってきた光学像は、焦点位置で計算したものだけでした。しかし、現実的には誤差無く焦点位置で観測することは容易なことではありません。焦点位置から光軸方向に $\varepsilon$ だけズレてしまったとき、どのような像となるのか確認しておきましょう。


以前計算したフレネル近似による位相成分は、光軸上焦点位置で

\begin{align}
\|x-X\|\approx f_0+\dfrac{p^2}{2f_0}+\dfrac{q^2}{2f_0}
\end{align}

からレンズによる遅延を減算することにより得られました。$x_0-X=(f_0+\varepsilon)n$ とおいてフレネル近似を修正すると

\begin{align}
\|x-X\|\approx f_0+\dfrac{p^2}{2f_0}+\dfrac{q^2}{2f_0}+\bigg(1+\dfrac{p^2+q^2}{f_0^2}\bigg)^{-1/2}\varepsilon
\end{align}

となるので、レンズによる遅延を減算した位相成分は

\begin{align}
f_0+\bigg(1+\dfrac{p^2+q^2}{f_0^2}\bigg)^{-1/2}\varepsilon
\end{align}

となります。$\varepsilon=0$ のときは任意の $p,q$ に対して位相が揃っており、すべての波面が強め合うのですが、$\varepsilon\neq 0$ のときは位相は揃いません。レンズの中心を通る光路の位相 $f_0+\varepsilon$ と比較して最も位相がズレている光路はレンズ境界を通る場合であり、開口角を $\theta$ とおいて

\begin{align}
f_0+(1+\tan^2\theta)^{-1/2}\varepsilon=f_0+\varepsilon\cos\theta
\end{align}

です。位相差の最大値 $\varepsilon(1-\cos\theta)$ が充分小さければすべての波面は強め合うと考えることができますね。この、「充分小さい」基準はどのように考えるべきでしょうか。

\begin{align}
\varepsilon(1-\cos\theta)<\dfrac{\lambda}{4}
\end{align}

はレイリー基準と呼ばれています。少し変形すれば

\begin{align}
\varepsilon<\dfrac{\lambda}{8\sin^2(\theta/2)}
\end{align}

となりますね。レイリー基準を満足するズレの上限値 $\lambda/\{8\sin^2(\theta/2)\}$ は焦点深度と呼ばれています。


コンデンサレンズとして機能するような範囲が分かりましたね。今回はここまで。次回はレイリー限界と焦点深度の関係について説明します。(written by J.Nishigata)


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光・波動38- 焦点位置からズレた像について

MathJax = {
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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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まず、フレネル近似を計算してみましょう。

\begin{align}
\|x-X\|\approx f_0+\varepsilon+\dfrac{f_0-\varepsilon}{2}(P^2+Q^2)+\dfrac{f_0-\varepsilon}{f_0}(Pp+Qq)+\dfrac{p^2+q^2}{2f_0}-\dfrac{p^2+q^2}{2f_0^2}\varepsilon
\end{align}

レンズによる遅延を減算すると

\begin{align}
f_0+\varepsilon+\dfrac{f_0-\varepsilon}{2}(P^2+Q^2)+\dfrac{f_0-\varepsilon}{f_0}(Pp+Qq)-\dfrac{p^2+q^2}{2f_0^2}\varepsilon
\end{align}

これをキルヒホッフの積分公式に代入して計算すると、$A=f_0+\varepsilon+(f_0-\varepsilon)(P^2+Q^2)/2$ とおいて

\begin{align}
u(X-\varepsilon n)&\approx-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\int_Due^{2\pi i(f_0-\varepsilon)(Pp+Qq)/(f_0\lambda)}e^{-\pi i(p^2+q^2)\varepsilon/(f_0^2\lambda)}\,dS\\
&\approx-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\int_Due^{2\pi i(f_0-\varepsilon)(Pp+Qq)/(f_0\lambda)}\bigg\{1-i\dfrac{\pi(p^2+q^2)\varepsilon}{f_0^2\lambda}\bigg\}\,dS
\end{align}

特に円板定義関数が開口関数となっているとき $u=e^{i(k_1p+k_2q)}$ を右辺に代入して

\begin{align}
u(X-\varepsilon n)\approx-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\mathscr{F}^{-1}\bigg[1-i\dfrac{\pi(p^2+q^2)\varepsilon}{f_0^2\lambda}\bigg](P/\lambda+k_1/(2\pi),Q/\lambda+k_2/(2\pi))
\end{align}

あとはハンケル変換の部分を計算していくだけです。積分の項だけ計算すると

\begin{align}
&2\pi \int_0^{d_0/2}r\bigg(1-i\dfrac{\pi r^2\varepsilon}{f_0^2\lambda}\bigg)J_0(2\pi r\|P/\lambda+k_1/(2\pi),Q/\lambda+k_2/(2\pi)\|)\,dr\\
&=\dfrac{d_0J_1(\pi d_0\|\cdot\|)}{2\|\cdot\|}-i\dfrac{\pi\varepsilon d_0^3}{8f_0^2\lambda\|\cdot\|}J_1(\pi d_0\|\cdot\|)+i\dfrac{\varepsilon d_0^2}{4f_0^2\lambda\|\cdot\|^2}J_2(\pi d_0\|\cdot\|)
\end{align}

となります。今回はここまで。次回は遮断周波数の話をします。(written by J.Nishigata)


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光・波動39- レイリー限界と焦点深度の相関