まず、フレネル近似を計算してみましょう。

\begin{align} \|x-X\|\approx f_0+\varepsilon+\dfrac{f_0-\varepsilon}{2}(P^2+Q^2)+\dfrac{f_0-\varepsilon}{f_0}(Pp+Qq)+\dfrac{p^2+q^2}{2f_0}-\dfrac{p^2+q^2}{2f_0^2}\varepsilon \end{align}

レンズによる遅延を減算すると

\begin{align} f_0+\varepsilon+\dfrac{f_0-\varepsilon}{2}(P^2+Q^2)+\dfrac{f_0-\varepsilon}{f_0}(Pp+Qq)-\dfrac{p^2+q^2}{2f_0^2}\varepsilon \end{align}

これをキルヒホッフの積分公式に代入して計算すると、$A=f_0+\varepsilon+(f_0-\varepsilon)(P^2+Q^2)/2$ とおいて

\begin{align} u(X-\varepsilon n)&\approx-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\int_Due^{2\pi i(f_0-\varepsilon)(Pp+Qq)/(f_0\lambda)}e^{-\pi i(p^2+q^2)\varepsilon/(f_0^2\lambda)}\,dS\\ &\approx-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\int_Due^{2\pi i(f_0-\varepsilon)(Pp+Qq)/(f_0\lambda)}\bigg\{1-i\dfrac{\pi(p^2+q^2)\varepsilon}{f_0^2\lambda}\bigg\}\,dS \end{align}

特に円板定義関数が開口関数となっているとき $u=e^{i(k_1p+k_2q)}$ を右辺に代入して

\begin{align} u(X-\varepsilon n)\approx-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\mathscr{F}^{-1}\bigg[1-i\dfrac{\pi(p^2+q^2)\varepsilon}{f_0^2\lambda}\bigg](P/\lambda+k_1/(2\pi),Q/\lambda+k_2/(2\pi)) \end{align}

あとはハンケル変換の部分を計算していくだけです。積分の項だけ計算すると

\begin{align} &2\pi \int_0^{d_0/2}r\bigg(1-i\dfrac{\pi r^2\varepsilon}{f_0^2\lambda}\bigg)J_0(2\pi r\|P/\lambda+k_1/(2\pi),Q/\lambda+k_2/(2\pi)\|)\,dr\\ &=\dfrac{d_0J_1(\pi d_0\|\cdot\|)}{2\|\cdot\|}-i\dfrac{\pi\varepsilon d_0^3}{8f_0^2\lambda\|\cdot\|}J_1(\pi d_0\|\cdot\|)+i\dfrac{\varepsilon d_0^2}{4f_0^2\lambda\|\cdot\|^2}J_2(\pi d_0\|\cdot\|) \end{align}

となります。今回はここまで。次回は遮断周波数の話をします。(written by J.Nishigata)

光・波動40- 焦点位置からズレた像を計算してみよう