前回はキルヒホッフの境界条件の下でキルヒホッフの積分定理を計算していきました。

\begin{align} u(X)=-\dfrac{i}{\lambda}\int_Du\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS \end{align}

今回は右辺の計算を進めていきます。そこで、まずは前回の近軸近似を振り返ってみましょう。

\begin{align} \|x-X\|\approx \langle n,x-X\rangle \end{align}

右辺は点 $X$ と開口間の距離ですので、$x$ に依存しません。この式をそのままキルヒホッフの積分定理に代入したらどのようになるでしょうか。被積分関数の冪数には非常に大きな数 $k$ が掛かっているため、正しい計算とは言えません。

$\|x-X\|$ の近似を零次だけでなく $1$ 次まで採用してみましょう。正規直交基底 $\{n,e_1,e_2\}$ を用いて

\begin{align} x=x_0+pe_1+qe_2 \end{align}

とおいて $x=x_0$ の周りで $\|x-X\|$ を $p,q$ の一次関数として近似してみます。

\begin{align} \|x-X\|&=\|x_0-X+pe_1+qe_2\|\\ &=\sqrt{\|x_0-X\|^2+2\langle x_0-X,e_1\rangle p+2\langle x_0-X,e_2\rangle q+p^2+q^2}\\ &\approx \|x_0-X\|+\dfrac{\langle x_0-X,e_1\rangle}{\|x_0-X\|}p+\dfrac{\langle x_0-X,e_2\rangle}{\|x_0-X\|}q \end{align}

この近似をフラウンホーファー近似と呼びます。これをキルヒホッフの積分定理に代入してみましょう。式を簡単にするために

\begin{align} r_0=\|x_0-X\|,\ P=\dfrac{\langle x_0-X,e_1\rangle}{\|x_0-X\|},\ Q=\dfrac{\langle x_0-X,e_2\rangle}{\|x_0-X\|} \end{align}

とおいて

\begin{align} u(X)&=-\dfrac{ie^{ikr_0}}{\lambda}\int_Du\dfrac{e^{ik(Pp+Qq)}}{r_0}\bigg(1+\dfrac{Pp}{r_0}+\dfrac{Qq}{r_0}\bigg)^{-1}\,dS\\ &\approx -\dfrac{ie^{ikr_0}}{\lambda r_0}\int_Due^{2\pi i(Pp+Qq)/\lambda}\,dS \end{align}

非常にシンプルな式になりました。右辺は見覚えのある形でしょう。

\begin{align} u(X)=-\dfrac{ie^{ikr_0}}{\lambda r_0}\mathscr{F}^{-1}u(P/\lambda,Q/\lambda) \end{align}

開口関数 $u$ の逆フーリエ像が計算できれば $X$ での複素振幅 $u(X)$ を得ることができます。今回はここまで。次回はコンデンサレンズを用いた回折の話をします。(written by J.Nishigata)

光・波動22- フラウンホーファー近似