前回は開口への垂直な平面波の印加による複素振幅をフラウンホーファー近似で計算しました。そもそもフラウンホーファー近似が成り立つためには、開口サイズに対して $r_0$ が充分大きくなければなりません。そこで今回は、開口にコンデンサレンズを取り付けてこの問題の改善を試みましょう。

コンデンサレンズの機能に関しては以前幾何光学の説明でやりました。

\begin{align} \tau(p,q)=\dfrac{f_0-\sqrt{f_0^2+p^2+q^2}}{c} \end{align}

という分布の遅延が生じます。これをキルヒホッフの回折モデルの式に適用すると

\begin{align} u&=-\dfrac{i}{\lambda}\int_D u\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}e^{i\omega\tau}\,dS\\ &=-\dfrac{i}{\lambda}\int_D u\dfrac{e^{ik(\|x-X\|+f_0-\sqrt{f_0^2+p^2+q^2})}}{\|x-X\|}\,dS \end{align}

コンデンサレンズの焦点近傍では、開口サイズに対して焦点距離は充分大きくはないため、$\|x-X\|$ の近似は $1$ 次ではだめです。しかし近似を $2$ 次までとれば $-\sqrt{f_0^2+p^2+q^2}$ が相殺してくれそうですね。実際に近似計算をやっていきましょう。

\begin{align} \|x-X\|=\|x_0-X+pe_1+qe_2\| \end{align}

ここで $x_0-X$ を $n,e_1,e_2$ で直交分解します。

\begin{align} \|x-X\|&=\|\langle x_0-X,n\rangle n+\langle x_0-X,e_1\rangle e_1+\langle x_0-X,e_2\rangle e_2+pe_1+qe_2\|\\ &=\sqrt{\langle x_0-X,n\rangle^2+(\langle x_0-X,e_1\rangle+p)^2+(\langle x_0-X,e_2\rangle+q)^2} \end{align}

点 $X$ から開口までの距離を焦点距離として、近軸近似の精度が $p,q$ と同程度であれば

\begin{align} \|x-X\|\approx f_0+\dfrac{1}{2f_0}(\langle x_0-X,e_1\rangle+p)^2+\dfrac{1}{2f_0}(\langle x_0-X,e_2\rangle+q)^2 \end{align}

という $2$ 次の近似ができます。これをフレネルの近似と呼びます。レンズによる遅延を考慮して

\begin{align} \|x-X\|+f_0-\sqrt{f_0^2+p^2+q^2}&\approx f_0+\dfrac{1}{2f_0}(\langle x_0-X,e_1\rangle+p)^2+\dfrac{1}{2f_0}(\langle x_0-X,e_2\rangle+q)^2-\dfrac{1}{2f_0}p^2-\dfrac{1}{2f_0}q^2\\ &=f_0+Pp+Qq+\dfrac{f_0}{2}(P^2+Q^2) \end{align}

ここで

\begin{align} P=\dfrac{\langle x_0-X,e_1\rangle}{f_0},\ Q=\dfrac{\langle x_0-X,e_2\rangle}{f_0} \end{align}

確かに $p,q$ の $2$ 次の項が消えました。したがってキルヒホッフの積分定理を計算すると $A=f_0+f_0(P^2+Q^2)/2$ とおいて

\begin{align} u(X)&=-\dfrac{ie^{ikA}}{\lambda f_0}\int_{D}ue^{2\pi i(Pp+Qq)/\lambda}\,dS\\ &=-\dfrac{ie^{ikA}}{\lambda f_0}\mathscr{F}^{-1}u(P/\lambda,Q/\lambda) \end{align}

コンデンサレンズを使えば充分に離れていなくても焦点距離の位置でフラウンホーファーのときと同じ式が得られます。今回はここまで。次回はフレネルのモデルのままで、印加する平面波の角度を付けて計算してみます。(written by J.Nishigata)

光・波動23- フレネル近似