前回、キルヒホッフの境界条件を導きました。今回はこの条件の下でキルヒホッフの積分定理を計算してみたいと思います。

\begin{align} 4\pi u(X)&=-\int_{\partial\Omega}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS\\ &=-\int_D(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS \end{align}

開口に印加される平面波を $u=u_0e^{i(k\langle -n,x\rangle-\omega t)}$ としましょう。開口上では $\partial_nu=-iku$ が成立するので、これを代入して

\begin{align} 4\pi u(X)=-\int_Du(\partial_nv+ikv)\,dS \end{align}

更に $v$ に球面波 $e^{i\pi k\|x-X\|}/\|x-X\|$ を代入して

\begin{align} 4\pi u(X)=-\int_Du\bigg\{\dfrac{\langle n,x-X\rangle}{\|x-X\|}\bigg(-\dfrac{1}{\|x-X\|}+ik\bigg)+ik\bigg\}\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS \end{align}

と式変形しておきます。これ以上に式を簡単にしていくためには、以下のような近似をします。

\begin{align} \dfrac{\langle n,x-X\rangle}{\|x-X\|}\approx 1 \end{align}

この近似は、近軸近似と呼ばれています。

\begin{align} 4\pi u(X)=-\int_Du\bigg(-\dfrac{1}{\|x-X\|}+2ik\bigg)\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS \end{align}

この式の括弧の中身は $1/\|x-X\|$ と $2ik$ のどちらが支配的でしょうか。$k=2\pi/\lambda$ ですので $k$ は非常に大きな値をとります。したがって $2ik$ の方が支配的であると考えても良いでしょう。

\begin{align} u(X)=-\dfrac{i}{\lambda}\int_Du\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS \end{align}

開口から発生する球面波を重ね合わせれば良いことが分かりますね。今回はここまで。次回は右辺の積分の中身を更に計算していくための近似を考えましょう。(written by J.Nishigata)

光・波動21- キルヒホッフの回折モデルで計算してみよう