ストークスの公式を使う場合は、必ず微分形式を計算してフォーマットを満たすのか確認しましょう。ストークスのフォーマットとは

\begin{align} \int_{\partial\Omega}\omega=\int_{\Omega}d\omega \end{align}

のことです。また、ロジックの向きによって作業工程が違いますので注意してください。右向きのロジックの場合は簡単で、$d\omega$ を計算するだけで OK です。一方左向きのロジックの場合は、まず $\eta=d\omega$ を満足する $\omega$ を見つけなければなりません。$\eta$ が完全形式であるための必要条件は $\eta$ が閉形式であることですが、ポアンカレの補題によりこの条件は充分性も満たします。したがって、閉形式であることを確認することによって $\omega$ の存在を確定させる作業をすべきでしょう。

今回は簡単な右向きのロジックだけ追ってみることにしましょう。最初にストークスの公式を使ったのは熱伝導方程式の場面でした。

\begin{align} \int_{\partial\Omega}\langle f,n\rangle\,dS=\int_{\Omega}\mathrm{div}f\,dV \end{align}

$d(\langle f,n\rangle\,dS)$ を計算してみましょう。

\begin{align} d(\langle f,n\rangle\,dS)&=d(f^1\,dx^2\wedge dx^3-f_2\,dx^1\wedge dx^3+f^3\,dx^1\wedge dx^2)\\ &=\partial_1f^1\,dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3-\partial_2f^2\,dx^2\wedge dx^1\wedge dx^3+\partial_3f^3\,dx^3\wedge dx^1\wedge dx^2\\ &=(\partial_1f^1+\partial_2f^2+\partial_3f^3)\,dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3\\ &=\mathrm{div}f\,dV \end{align}

次に登場したのは球面調和関数空間の直交性のときでした。

\begin{align} \int_{\partial\Omega}(f\partial_ng-g\partial_nf)\,dS=\int_{\Omega}(f\Delta g-g\Delta f)\,dV \end{align}

これは左辺を

\begin{align} (f\partial_ng-g\partial_nf)\,dS=\langle f\nabla g-g\nabla f,n\rangle\,dS \end{align}

と変形して最初の例に代入すると

\begin{align} d(\langle f\nabla g-g\nabla f,n\rangle\,dS)&=\mathrm{div}(f\nabla g-g\nabla f)\,dV\\ &=(\langle\nabla f,\nabla g\rangle+f\Delta g-\langle\nabla g,\nabla f\rangle-g\Delta f)\,dV\\ &=(f\Delta g-g\Delta f)\,dV \end{align}

となります。そして前回は

\begin{align} \int_{\partial S}\langle f,dx\rangle=\int_S\langle\mathrm{rot}f,n\rangle\,dS \end{align}

という式を扱いました。これも確認すると

\begin{align} d(\langle f,dx\rangle)&=d(f^1\,dx^1+f^2\,dx^2+f^3\,dx^3)\\ &=(\partial_2f^1\,dx^2+\partial_3f^1\,dx^3)\wedge dx^1+(\partial_1f^2\,dx^1+\partial_3f^2\,dx^3)\wedge dx^2+(\partial_1f^3\,dx^1+\partial_2f^3\,dx^2)\wedge dx^3\\ &=(\partial_2f^3-\partial_3f^2)\,dx^2\wedge dx^3-(\partial_3f^1-\partial_1f^3)\,dx^1\wedge dx^3+(\partial_1f^2-\partial_2f^1)\,dx^1\wedge dx^2\\ &=\langle\mathrm{rot}f,n\rangle\,dS \end{align}

以上で今までの確認は取れましたね。今後も度々ストークスの公式は登場しますが、都度確認することをお勧めします。

今回はここまで。次回は、話を戻して電荷が作り出す電場の話をします。(written by J.Nishigata)

光・波動11- 微分形式を計算してみよう