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今回から電磁気学の話がスタートします。電場と磁場に関する性質を考えていきましょう。


多くの人は砂鉄の実験をやったことがあると思います。これを思い返してみると、磁場というものは N 極から S 極へ向かう閉曲線を連想します。このような磁力線モデルでは、任意の連結領域 $\Omega$ に流入する磁力線本数と流出する磁力線本数は必ず一致します。これを式にすると磁束 $B$ に関して

\begin{align}
\int_{\partial\Omega}\langle B,n\rangle\,dS=0
\end{align}

となります。これを磁束の保存則と呼びます。$n$ は $\partial\Omega$ の外向き単位法線ベクトル場です。何故内積をとっているのかというと、単位面積当たりに垂直に貫く磁力線をカウントするためです。このような計算は以前熱伝導方程式を考えたときにも登場しました。


ストークスの公式を用いると

\begin{align}
\int_{\partial\Omega}\langle B,n\rangle\,dS=\int_{\Omega}\mathrm{div}B\,dV
\end{align}

ここで領域 $\Omega$ の任意性より、微分系の関係式が得られます。

\begin{align}
\mathrm{div}B=0
\end{align}

非常にシンプルな式ですね。この微分系の式には、「磁束は湧き出さない」「磁束には始点も終点も無い」といった意味があり、特異点が存在しないという言い回しで「磁束はモノポール場ではない」と言うこともあります。物理学的に分り易い意味があるのは有難いですね。


今回はここまで。次回はモーターの動作原理にもなっているファラデーの法則について説明します。(written by J.Nishigata)


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光・波動9- 磁束の保存則

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ストークスの公式を使う場合は、必ず微分形式を計算してフォーマットを満たすのか確認しましょう。ストークスのフォーマットとは

\begin{align}
\int_{\partial\Omega}\omega=\int_{\Omega}d\omega
\end{align}

のことです。また、ロジックの向きによって作業工程が違いますので注意してください。右向きのロジックの場合は簡単で、$d\omega$ を計算するだけで OK です。一方左向きのロジックの場合は、まず $\eta=d\omega$ を満足する $\omega$ を見つけなければなりません。$\eta$ が完全形式であるための必要条件は $\eta$ が閉形式であることですが、ポアンカレの補題によりこの条件は充分性も満たします。したがって、閉形式であることを確認することによって $\omega$ の存在を確定させる作業をすべきでしょう。


今回は簡単な右向きのロジックだけ追ってみることにしましょう。最初にストークスの公式を使ったのは熱伝導方程式の場面でした。

\begin{align}
\int_{\partial\Omega}\langle f,n\rangle\,dS=\int_{\Omega}\mathrm{div}f\,dV
\end{align}

$d(\langle f,n\rangle\,dS)$ を計算してみましょう。

\begin{align}
d(\langle f,n\rangle\,dS)&=d(f^1\,dx^2\wedge dx^3-f_2\,dx^1\wedge dx^3+f^3\,dx^1\wedge dx^2)\\
&=\partial_1f^1\,dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3-\partial_2f^2\,dx^2\wedge dx^1\wedge dx^3+\partial_3f^3\,dx^3\wedge dx^1\wedge dx^2\\
&=(\partial_1f^1+\partial_2f^2+\partial_3f^3)\,dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3\\
&=\mathrm{div}f\,dV
\end{align}

次に登場したのは球面調和関数空間の直交性のときでした。

\begin{align}
\int_{\partial\Omega}(f\partial_ng-g\partial_nf)\,dS=\int_{\Omega}(f\Delta g-g\Delta f)\,dV
\end{align}

これは左辺を

\begin{align}
(f\partial_ng-g\partial_nf)\,dS=\langle f\nabla g-g\nabla f,n\rangle\,dS
\end{align}

と変形して最初の例に代入すると

\begin{align}
d(\langle f\nabla g-g\nabla f,n\rangle\,dS)&=\mathrm{div}(f\nabla g-g\nabla f)\,dV\\
&=(\langle\nabla f,\nabla g\rangle+f\Delta g-\langle\nabla g,\nabla f\rangle-g\Delta f)\,dV\\
&=(f\Delta g-g\Delta f)\,dV
\end{align}

となります。そして前回は

\begin{align}
\int_{\partial S}\langle f,dx\rangle=\int_S\langle\mathrm{rot}f,n\rangle\,dS
\end{align}

という式を扱いました。これも確認すると

\begin{align}
d(\langle f,dx\rangle)&=d(f^1\,dx^1+f^2\,dx^2+f^3\,dx^3)\\
&=(\partial_2f^1\,dx^2+\partial_3f^1\,dx^3)\wedge dx^1+(\partial_1f^2\,dx^1+\partial_3f^2\,dx^3)\wedge dx^2+(\partial_1f^3\,dx^1+\partial_2f^3\,dx^2)\wedge dx^3\\
&=(\partial_2f^3-\partial_3f^2)\,dx^2\wedge dx^3-(\partial_3f^1-\partial_1f^3)\,dx^1\wedge dx^3+(\partial_1f^2-\partial_2f^1)\,dx^1\wedge dx^2\\
&=\langle\mathrm{rot}f,n\rangle\,dS
\end{align}

以上で今までの確認は取れましたね。今後も度々ストークスの公式は登場しますが、都度確認することをお勧めします。


今回はここまで。次回は、話を戻して電荷が作り出す電場の話をします。(written by J.Nishigata)


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光・波動10- ファラデーの法則