前回から引き続き、電場と磁場の性質を調べていきましょう。

今回はファラデーの法則です。まず、モーターを想像してみてください。N 極から S 極へ向かう磁場の中でコイルを回転させると、コイルを貫く磁力線の本数は変化します。この磁力線の時間変化はコイルに起電力を与えます。コイルの成す曲面を $S$ とおいて立式してみましょう。磁束 $B$ と電場 $E$ に関して

\begin{align} \partial_t\int_{S}\langle B,n\rangle\,dS=-\int_{\partial S}\langle\mathrm{grad}E,dx\rangle \end{align}

これをファラデーの法則と呼びます。ここで $n$ は $S$ の反転しない単位法線ベクトル場で $\partial S$ には誘導される向きが入っています。右辺にストークスの公式を使います。

\begin{align} -\int_{\partial S}\langle\mathrm{grad}E,dx\rangle=-\int_S\langle\mathrm{rot}E,n\rangle dS \end{align}

曲面 $S$ の任意性から微分系の関係式に直すことができます。

\begin{align} \partial_tB=-\mathrm{rot}E \end{align}

今回はここまで。結構頻繁にストークスの公式を使います。以前面積ベクトルを実際に計算できるレベルで理解しましょうという話をしましたが、ストークスの公式を使う場面で、本当にストークスの公式のフォーマットになっているのか確認できているのか注意が必要です。ということで、次回は少し話が逸れますが、微分形式の計算例をいくつか取り上げたいと思います。(written by J.Nishigata)

光・波動10- ファラデーの法則