物理学では「面積要素(面素)」や「面素ベクトル(面積ベクトル)」という言葉が登場しても、あまり説明することがありません。曲面に沿った微小面積のような説明を受けるはずです。

少なくとも何かしらの座標を入れて積分できるところまで落とし込める知識は必要です。

面積要素の計算には $dx^1dx^2$ のような微分形式の掛け算が生じますが、普通の掛け算ではなく面の向き(裏表)を区別できる外積という演算を行ないます。外積には順序を反転させると符号が変わる性質があります。

\begin{align} dx^i\wedge dx^j=-dx^j\wedge dx^i \end{align}

それでは、曲面上の点 $x$ での面積要素を計算していきましょう。$x$ での正規直交な接ベクトルを $u,v$ とします。このとき $u,v$ が張る右手系の面積要素は

\begin{align} dS&=(u^1\,dx^1+u^2\,dx^2+u^3\,dx^3)\wedge (v^1\,dx^1+v^2\,dx^2+v^3\,dx^3)\\ &=(u^2v^3-u^3v^2)\,dx^2\wedge dx^3+(u^1v^3-u^3v^1)\,dx^3\wedge dx^1+(u^1v^2-u^2v^1)\,dx^1\wedge dx^2\\ &=n^1\,dx^2\wedge dx^3+n^2\,dx^3\wedge dx^1+n^3\,dx^1\wedge dx^2,\\ &\text{where }n=u\times v \end{align}

$u,v$ と右手系を成すような単位法線ベクトルの各成分が係数になるわけですね。これを使えば面素ベクトルは簡単に $n\,dS$ となります。面素ベクトルに関してはもうひとつの表現

\begin{align} \begin{pmatrix} dx^2\wedge dx^3\\ dx^3\wedge dx^1\\ dx^1\wedge dx^2 \end{pmatrix} \end{align}

というものもあります。一見すると $n\,dS$ と等しくなりそうに無いですが、「曲面上で」という条件を付け加えると等しくなります。確かめてみましょう。

接平面の方程式は

\begin{align} x=x_0+us+vt \end{align}

ですから、微分形式の間には

\begin{align} dx=u\,ds+v\,dt \end{align}

という関係が成り立っています。これを代入すれば確かに

\begin{align} n\,dS= \begin{pmatrix} dx^2\wedge dx^3\\ dx^3\wedge dx^1\\ dx^1\wedge dx^2 \end{pmatrix} \end{align}

であることが分ります。今回は少し話が逸れましたが、次回は、また球面調和関数空間の話に戻って、次元を数えてみたいと思います。(written by J.Nishigata)

フーリエ21- 面積要素と面素ベクトルに関する補足