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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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前回までで、球面成分の話は終わりました。求めた固有値をラプラス方程式とヘルムホルツ方程式に代入して解いていきましょう。


まずはラプラス方程式から。

\begin{align}
x^2\partial^2f+2x\partial f=k(k+1)f
\end{align}

この特殊解を求めましょう。これは簡単ですね。

\begin{align}
f(x)=x^k,x^{-1-k}
\end{align}

続いてヘルムホルツ方程式を考えます。

\begin{align}
x^2\partial^2f+2x\partial f+\{x^2-k(k+1)\}f=0
\end{align}

スケーリングしましたがこのようになります。この方程式には球面ベッセル方程式という名前が付いています。その独立な 2 つの特殊解には球面ベッセル関数、球面ノイマン関数という名前も付いています。ところで、この方程式、以前解いたベッセル方程式に似ていませんか。実は

\begin{align}
f=x^{-1/2}g
\end{align}

のように変換するとベッセル方程式が得られます。

\begin{align}
x^2\partial^2g+x\partial g+\bigg\{x^2-\bigg(\dfrac{2k+1}{2}\bigg)^2\bigg\}g=0
\end{align}

既に解いている通り、ベッセル方程式の解はベッセル関数とノイマン関数です。無事解がすべて求まりましたので、これで 3 次元モデルの熱伝導方程式の話を終わりにします。(初期値問題はやりませんが、興味ある方は挑戦してみてください。)


次回からは球面調和関数の応用の話をしていきたいのですが、その前に幾つかの問題を片付けてしまおうと思います。(written by J.Nishigata)


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フーリエ20- ラプラス方程式とヘルムホルツ方程式の動径成分を解いてみよう

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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以前調和関数空間の直和空間を調べたときに、$k$ 次の同次多項式の球面への制限は $k,k-2,\ldots$ 次元球面調和関数空間の直和空間に入っていることを示しました。これを用いると $k$ 次までの多項式の球面への制限は $k,k-1,\ldots$ 次元球面調和関数空間の直和空間に入ることが分ります。一方、球面調和関数は同次なものから調和関数を取り出して球面へ制限したものですので、逆の包含関係も成り立ち

\begin{align}
(P^0+P^1+\dots+P^k)\big|S^2=H^0+H^1+\dots+H^k
\end{align}

が得られます。$j\le k$ 次同次多項式の球面への制限は、$\|x\|^2$ を適当な回数掛けることによって k-1 次若しくは k 次になります。したがって左辺を書き換えて

\begin{align}
P^{k-1}\big|S^2+P^k\big|S^2=H^0+H^1+\dots+H^k
\end{align}

とすることができます。互いに素な直和になっていることに注意すると

\begin{align}
\dim P^{k-1}\big|S^2+\dim P^k\big|S^2=\sum_{i=0}^k\dim H^i
\end{align}

更に k をひとつずらして差分をとると

\begin{align}
-\dim P^{k-2}\big|S^2+\dim P^k\big|S^2=\dim H^k
\end{align}

すなわち $k$ 次同次多項式空間の球面への制限の次元がわかれば良いです。これを $d(3,k)$ とおきましょう。関数 $d$ の最初の引数は変数の個数が入ることにします。(今は $x^1,x^2,x^3$ の 3 つ)


1 変数の場合、原点からの距離 1 の点に制限すると定数になります。したがって $d(1,k)=1$ です。$d(n,0)=1$ も自明ですね。


$d(n,k)$ は、変数 $x^1$ が含まれないときの $d(n-1,k)$ と $x^1$ を必ず含むときの $d(n,k-1)$ の合計で $d(n,k)=d(n-1,k)+d(n,k-1)$ に成ります。


以上の漸化式を解けば $d(3,k)$ が求まります。

\begin{align}
d(3,k)=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}
\end{align}

となりますね。以上より球面調和関数空間の次元は

\begin{align}
\dim H^k=2k+1
\end{align}

のように求まります。今回はここまで。次回は球面調和関数を座標変換(回転)させたらどうなるか調べます。或る程度の普遍性が無いと使い辛いのですがどうなるでしょうか。(written by J.Nishigata)


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フーリエ21- 面積要素と面素ベクトルに関する補足