前回までで、球面成分の話は終わりました。求めた固有値をラプラス方程式とヘルムホルツ方程式に代入して解いていきましょう。

まずはラプラス方程式から。

\begin{align} x^2\partial^2f+2x\partial f=k(k+1)f \end{align}

この特殊解を求めましょう。これは簡単ですね。

\begin{align} f(x)=x^k,x^{-1-k} \end{align}

続いてヘルムホルツ方程式を考えます。

\begin{align} x^2\partial^2f+2x\partial f+\{x^2-k(k+1)\}f=0 \end{align}

スケーリングしましたがこのようになります。この方程式には球面ベッセル方程式という名前が付いています。その独立な 2 つの特殊解には球面ベッセル関数、球面ノイマン関数という名前も付いています。ところで、この方程式、以前解いたベッセル方程式に似ていませんか。実は

\begin{align} f=x^{-1/2}g \end{align}

のように変換するとベッセル方程式が得られます。

\begin{align} x^2\partial^2g+x\partial g+\bigg\{x^2-\bigg(\dfrac{2k+1}{2}\bigg)^2\bigg\}g=0 \end{align}

既に解いている通り、ベッセル方程式の解はベッセル関数とノイマン関数です。無事解がすべて求まりましたので、これで 3 次元モデルの熱伝導方程式の話を終わりにします。(初期値問題はやりませんが、興味ある方は挑戦してみてください。)

次回からは球面調和関数の応用の話をしていきたいのですが、その前に幾つかの問題を片付けてしまおうと思います。(written by J.Nishigata)

フーリエ20- ラプラス方程式とヘルムホルツ方程式の動径成分を解いてみよう