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以前球面ラプラシアンの固有方程式について考えたときには、次のことが分りました。$k$ 次の球面調和関数は球面ラプラシアンの固有関数であり、その固有値は $-k(k+1)$。すなわち特定の関数の性質を調べただけでした。


今回はちゃんと解いていきます。球面上の 2 階微分可能な関数 $f$ をフーリエ級数展開します。

\begin{align}
f=\sum_{k,l}\langle Y_{kl},f\rangle_2Y_{kl}
\end{align}

これが自明ではない固有関数ならば

\begin{align}
0=\Delta^Sf-\lambda f&=\sum_{k,l}\langle Y_{kl},f\rangle_2\lambda_kY_{kl}-\lambda\sum_{k,l}\langle Y_{kl},f\rangle_2 Y_{kl}\\
&=\sum_{k,l}\langle Y_{kl},f\rangle_2(\lambda_k-\lambda)Y_{kl}
\end{align}

フーリエ級数で表現することの一意性より

\begin{align}
\langle Y_{kl},f\rangle_2(\lambda_k-\lambda)=0\ \text{for all }k,l
\end{align}

が成立しなければなりません。自明な固有関数ではないとしているので、或る $k_0,l_0$ が存在して

\begin{align}
\langle Y_{k_0l_0},f\rangle_2\neq 0
\end{align}

すなわち

\begin{align}
\lambda=\lambda_{k_0}=-k_0(k_0+1)
\end{align}

ということが分ります。これで固有値がわかりました。これを踏まえて 3 つ上の式を考えると

\begin{align}
k\neq k_0\Longrightarrow\langle Y_{kl},f\rangle_2=0\Longrightarrow f\in H^{k_0}
\end{align}

このように結局のところ $f$ は球面調和関数であることが分ります。無事球面ラプラシアンの固有方程式が解けました。話を元に戻しますが、何のためにこのようなことをやってきたのかというと、熱伝導方程式を解くためでしたよね。この話も折り返し地点を過ぎました。残りの問題も頑張って解きましょう。


次回はラプラス方程式とヘルムホルツ方程式の動径成分について話していきます。(written by J.Nishigata)


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フーリエ19- 球面ラプラシアンの固有方程式に挑戦してみよう

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  }
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物理学では「面積要素(面素)」や「面素ベクトル(面積ベクトル)」という言葉が登場しても、あまり説明することがありません。曲面に沿った微小面積のような説明を受けるはずです。


少なくとも何かしらの座標を入れて積分できるところまで落とし込める知識は必要です。


面積要素の計算には $dx^1dx^2$ のような微分形式の掛け算が生じますが、普通の掛け算ではなく面の向き(裏表)を区別できる外積という演算を行ないます。外積には順序を反転させると符号が変わる性質があります。

\begin{align}
dx^i\wedge dx^j=-dx^j\wedge dx^i
\end{align}

それでは、曲面上の点 $x$ での面積要素を計算していきましょう。$x$ での正規直交な接ベクトルを $u,v$ とします。このとき $u,v$ が張る右手系の面積要素は

\begin{align}
dS&=(u^1\,dx^1+u^2\,dx^2+u^3\,dx^3)\wedge (v^1\,dx^1+v^2\,dx^2+v^3\,dx^3)\\
&=(u^2v^3-u^3v^2)\,dx^2\wedge dx^3+(u^1v^3-u^3v^1)\,dx^3\wedge dx^1+(u^1v^2-u^2v^1)\,dx^1\wedge dx^2\\
&=n^1\,dx^2\wedge dx^3+n^2\,dx^3\wedge dx^1+n^3\,dx^1\wedge dx^2,\\
&\text{where }n=u\times v
\end{align}

$u,v$ と右手系を成すような単位法線ベクトルの各成分が係数になるわけですね。これを使えば面素ベクトルは簡単に $n\,dS$ となります。面素ベクトルに関してはもうひとつの表現

\begin{align}
\begin{pmatrix}
dx^2\wedge dx^3\\
dx^3\wedge dx^1\\
dx^1\wedge dx^2
\end{pmatrix}
\end{align}

というものもあります。一見すると $n\,dS$ と等しくなりそうに無いですが、「曲面上で」という条件を付け加えると等しくなります。確かめてみましょう。


接平面の方程式は

\begin{align}
x=x_0+us+vt
\end{align}

ですから、微分形式の間には

\begin{align}
dx=u\,ds+v\,dt
\end{align}

という関係が成り立っています。これを代入すれば確かに

\begin{align}
n\,dS=
\begin{pmatrix}
dx^2\wedge dx^3\\
dx^3\wedge dx^1\\
dx^1\wedge dx^2
\end{pmatrix}
\end{align}

であることが分ります。今回は少し話が逸れましたが、次回は、また球面調和関数空間の話に戻って、次元を数えてみたいと思います。(written by J.Nishigata)


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フーリエ20- ラプラス方程式とヘルムホルツ方程式の動径成分を解いてみよう