以前球面ラプラシアンの固有方程式について考えたときには、次のことが分りました。$k$ 次の球面調和関数は球面ラプラシアンの固有関数であり、その固有値は $-k(k+1)$。すなわち特定の関数の性質を調べただけでした。

今回はちゃんと解いていきます。球面上の 2 階微分可能な関数 $f$ をフーリエ級数展開します。

\begin{align} f=\sum_{k,l}\langle Y_{kl},f\rangle_2Y_{kl} \end{align}

これが自明ではない固有関数ならば

\begin{align} 0=\Delta^Sf-\lambda f&=\sum_{k,l}\langle Y_{kl},f\rangle_2\lambda_kY_{kl}-\lambda\sum_{k,l}\langle Y_{kl},f\rangle_2 Y_{kl}\\ &=\sum_{k,l}\langle Y_{kl},f\rangle_2(\lambda_k-\lambda)Y_{kl} \end{align}

フーリエ級数で表現することの一意性より

\begin{align} \langle Y_{kl},f\rangle_2(\lambda_k-\lambda)=0\ \text{for all }k,l \end{align}

が成立しなければなりません。自明な固有関数ではないとしているので、或る $k_0,l_0$ が存在して

\begin{align} \langle Y_{k_0l_0},f\rangle_2\neq 0 \end{align}

すなわち

\begin{align} \lambda=\lambda_{k_0}=-k_0(k_0+1) \end{align}

ということが分ります。これで固有値がわかりました。これを踏まえて 3 つ上の式を考えると

\begin{align} k\neq k_0\Longrightarrow\langle Y_{kl},f\rangle_2=0\Longrightarrow f\in H^{k_0} \end{align}

このように結局のところ $f$ は球面調和関数であることが分ります。無事球面ラプラシアンの固有方程式が解けました。話を元に戻しますが、何のためにこのようなことをやってきたのかというと、熱伝導方程式を解くためでしたよね。この話も折り返し地点を過ぎました。残りの問題も頑張って解きましょう。

次回はラプラス方程式とヘルムホルツ方程式の動径成分について話していきます。(written by J.Nishigata)

フーリエ19- 球面ラプラシアンの固有方程式に挑戦してみよう